Uneigentlicher Grenzwert in einem Punkt

Bisher haben wir uns angesehen, was passiert, wenn wir uns einem bestimmten Punkt nähern und die Funktion einen festen endlichen Wert annimmt. Manchmal wachsen Funktionen über alle Grenzen. Hier setzen die uneigentlichen Grenzwerte an.

Uneigentlicher Grenzwert in einem Punkt#

Intuition#

Stell dir eine undurchdringbare Decke vor, die extrem hoch im Raum hängt. Ein uneigentlicher Grenzwert gegen Unendlich entsteht, wenn der Funktionsgraph an einer bestimmten Stelle so steil ansteigt, dass er jede noch so hoch platzierte Decke durchbricht und ab einer gewissen Nähe zum Zentrum nicht mehr darunter zurückfällt.

Definition#

Wenn eine Funktion an einer Stelle gegen Unendlich explodieren soll, muss jeder Versuch, sie durch eine Schranke nach oben zu begrenzen, scheitern. Die unausweichliche Konsequenz ist ein kleines Fenster um den Punkt herum, in dem sämtliche Funktionswerte diese künstliche Schranke überragen.

Beispiel#

Nimm die Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2}$ an der Stelle $x_0 = 0$. Gib mir eine beliebige, sehr grosse Zahl $M > 0$. Wenn wir das Intervall mit $\delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$ festlegen, dann gilt für alle $x \neq 0$ mit $|x| < \delta$ sofort $x^2 < \frac{1}{M}$ und somit $\frac{1}{x^2} > M$. Die Funktion wächst um die Null herum über jede Grenze.

Gegenbeispiel#

Betrachte $f(x) = \frac{1}{x}$ an der Stelle $x_0 = 0$. Von rechts wächst der Wert gegen $\infty$. Wenn wir uns der Null aber von links nähern, stürzt die Funktion ins Negative ab. Es gibt kein symmetrisches Fenster um die Null, in dem alle Werte auf beiden Seiten strikt oberhalb einer positiven Schranke $M$ liegen. Daher gibt es keinen uneigentlichen Grenzwert an der Stelle $x_0 = 0$.