Grenzwerte im Unendlichen bei Funktionen

In diesem Beitrag schauen wir uns an, wie sich Funktionen verhalten, wenn wir auf der x-Achse immer weiter nach rechts oder links gehen. Oft strebt eine Funktion dabei einem festen Wert zu, auch wenn sie ihn vielleicht nie ganz erreicht. Wir wollen dieses Bild nun mathematisch wasserdicht machen.

Grenzwert einer Funktion im Unendlichen#

Intuition#

Stell dir vor, du fliegst in einem Raumschiff entlang der x-Achse in Richtung Horizont. Je weiter du fliegst, desto enger wird der unsichtbare Tunnel um eine bestimmte Zielhöhe auf der y-Achse. Egal wie schmal ich diesen Tunnel wähle (das ist unser $\varepsilon$), du wirst ab einer bestimmten Distanz (das ist unser $R$) für immer innerhalb dieses Tunnels bleiben. Ein Ausbrechen ist nicht mehr möglich.

Definition#

Beispiel#

Betrachte die Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ für $x \to \infty$. Wenn wir als Fehlertoleranz $\varepsilon = 0.1$ vorgeben, können wir die Schranke $R = 10$ wählen. Für alle $x > 10$ gilt dann sofort $|\frac{1}{x} - 0| = \frac{1}{x} < 0.1$. Die Funktion konvergiert gegen den Grenzwert $0$.

Gegenbeispiel#

Die Sinusfunktion $f(x) = \sin(x)$ hat keinen Grenzwert für $x \to \infty$. Sie pendelt ewig zwischen $-1$ und $1$ hin und her. Wenn wir eine Zielhöhe von $L=0$ vermuten und einen Tunnel der Breite $\varepsilon = 0.1$ vorgeben, gibt es unabhängig von der Wahl von $R$ immer wieder x-Werte, bei denen die Funktion den Wert $1$ oder $-1$ annimmt und somit den Tunnel verlässt.

Der Kern#

Die formale Bedingung erzwingt, dass die Funktion ab einem bestimmten Punkt auf der x-Achse in einem beliebig schmalen Schlauch gefangen bleibt, was ein ewiges Oszillieren oder Weglaufen logisch ausschliesst. Das liefert uns einen eindeutigen Grenzwert.

Übungen#

1. Was passiert bei der Funktion $f(x) = \arctan(x)$ für $x \to \infty$?

   • (a) Die Funktion wächst über alle Grenzen gegen $\infty$.
   • (b) Die Funktion konvergiert gegen $\frac{\pi}{2}$.
   • (c) Die Funktion oszilliert und hat keinen Grenzwert.

2. Warum reicht es beim Gegenbeispiel $f(x) = \frac{1}{x}$ bei $x_0 = 0$ aus, nur die linke Seite zu betrachten, um die Definition 2.1 zu widerlegen?

   • (a) Weil die Definition eine Allquantifizierung über alle $x$ im $\delta$-Intervall fordert und ein einziges negatives $f(x)$ die Aussage $f(x) \ge M$ für positive $M$ zerstört.
   • (b) Weil $x_0 = 0$ nicht im Definitionsbereich liegt.
   • (c) Weil rechtsseitige Grenzwerte immer endlich sein müssen.