Grenzwerte von Funktionen

In der Analysis betrachten wir oft das Verhalten von Funktionen an Randpunkten ihres Definitionsbereichs oder an Stellen, an denen sie gar nicht definiert sind. Manchmal wollen wir wissen, was passiert, wenn wir uns einem Punkt beliebig dicht annähern, ohne ihn direkt auszuwerten. Genau hier benötigen wir Grenzwerte.

Grenzwert an einer endlichen Stelle#

Intuition#

Ich stelle mir den Grenzwert gerne als einen präzisen Zielvorgang vor. Du versuchst, einen Pfeil auf eine Zielscheibe zu schiessen. Der gewünschte Treffpunkt auf der y-Achse ist der Grenzwert $L$. Wenn du willst, dass dein Pfeil höchstens um die Toleranz $\varepsilon$ vom Zentrum abweicht, musst du deine Hand beim Zielen auf der x-Achse stabilisieren. Die Toleranz deiner Hand ist das Fenster $\delta$. Egal wie streng die Zielvorgabe $\varepsilon$ ist, solange du deine Hand ruhig genug hältst, triffst du. Wir wackeln also mit dem Input innerhalb von $\delta$ und der Output wackelt als direkte Konsequenz höchstens um $\varepsilon$.

Definition#

Die logische Zwangsläufigkeit dieses Satzes liegt in der strengen Abhängigkeit. Das $\delta$ reagiert auf das $\varepsilon$. Weil wir für jede noch so kleine Output-Toleranz ein passendes Input-Fenster finden können, ist die Annäherung an den Grenzwert unausweichlich.

Beispiel#

Betrachte die Funktion $f(x) = 2x$ an der Stelle $x_0 = 3$. Wir vermuten den Grenzwert $L = 6$ und schreiben $\lim\limits_{x \to 3} 2x = 6$. Für eine gegebene Toleranz $\varepsilon > 0$ wählen wir $\delta = \varepsilon / 2$. Für alle $x$ mit $0 < |x - 3| < \delta$ folgt durch Einsetzen sofort $|2x - 6| = 2|x - 3| < 2\delta = \varepsilon$. Der Output bleibt zwingend im geforderten Bereich.

Gegenbeispiel#

Die Vorzeichenfunktion, die für negative Inputs $-1$ und für positive Inputs $1$ ausgibt, hat bei $x_0 = 0$ keinen Grenzwert. Wenn wir $\varepsilon = 0.5$ wählen, gibt es kein funktionierendes $\delta$. In jedem noch so kleinen Intervall um die Null herum gibt es positive und negative Inputs. Die Outputs springen zwischen $-1$ und $1$ hin und her. Der Abstand der Outputs zueinander ist $2$. Sie können unmöglich beide gleichzeitig weniger als $0.5$ von einem einzigen Wert $L$ entfernt sein.

Übungen#

1. Gegeben sei die $\varepsilon$-$\delta$-Definition des Grenzwerts. Was passiert geometrisch, wenn wir $\varepsilon$ kleiner machen?

   • (a) Das $\delta$-Intervall auf der x-Achse wird in der Regel breiter.
   • (b) Das $\delta$-Intervall auf der x-Achse muss in der Regel schmaler gewählt werden.
   • (c) Die Funktion wird an dieser Stelle differenzierbar.

2. Betrachte $f(x) = x \sin(1/x)$ für $x \neq 0$. Hat diese Funktion einen Grenzwert für $x \to 0$?

   • (a) Ja, der Grenzwert ist $0$, weil der Faktor $x$ die Oszillation dämpft und alles gegen null zwingt.
   • (b) Nein, die Sinus-Komponente oszilliert zu stark.
   • (c) Der Grenzwert ist unendlich.