Konvergenzradius von Reihen

Wenn man Zahlen aufsummiert, ist die Konvergenz oft eine knifflige Angelegenheit. Wenn wir nun eine Variable in die Summanden packen, verwandelt sich die Reihe in eine Funktion. Diese sogenannten Potenzreihen sind mächtige Werkzeuge, aber sie funktionieren nur in einem ganz bestimmten sicheren Bereich, bevor sie unkontrollierbar werden.

Potenzreihen und Konvergenzradius#

Intuition#

Stell dir vor, du gehst mit einem Hund an einer ausziehbaren Leine spazieren. Solange der Hund innerhalb der maximalen Leinenlänge bleibt, hast du die volle Kontrolle und der Spaziergang verläuft geregelt. Sobald der Hund aber über diesen Radius hinausrennt, reisst die Leine und das Chaos bricht aus. Bei Potenzreihen ist der Ursprung dein Standpunkt und der Konvergenzradius ist die maximale Leinenlänge. Innerhalb dieses Radius liefert die unendliche Summe einen vernünftigen, endlichen Wert. Ausserhalb dieses Radius wachsen die Terme so stark an, dass die Summe ins Unendliche abdriftet.

Definition#

Das Wurzelkriterium vergleicht eine Reihe im Wesentlichen mit einer geometrischen Reihe. Der Limes superior der Wurzeln sagt uns genau, ab welchem Wert für $x$ das Wachstum der Koeffizienten das exponentielle Schrumpfen von $x^n$ überwiegt.

Beispiel#

Betrachte die Potenzreihe $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$. Die Koeffizienten sind $a_n = \frac{1}{n}$. Wir berechnen den Limes superior der n-ten Wurzel der Koeffizienten. Der Grenzwert $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}$ ist 1. Folglich ist $\rho = 1$ und der Konvergenzradius ist $R = 1$. Für alle $x$ mit $|x| < 1$ konvergiert diese Reihe absolut.

Gegenbeispiel#

Schauen wir uns die Reihe $\sum\limits_{n=0}^\infty n! x^n$ an. Die Fakultät wächst enorm schnell. Die n-te Wurzel aus $n!$ strebt gegen unendlich. Das bedeutet, dass $\rho = \infty$ ist. Der Kehrwert liefert einen Konvergenzradius von $R = 0$. Die Leine hat also die Länge null. Diese Reihe divergiert für jeden Wert von $x$, ausser für den trivialen Fall $x = 0$.

Stetigkeit im Konvergenzbereich#

Intuition#

Endliche Polynome sind von Natur aus stetig, da sie keine Sprünge oder Lücken aufweisen. Wenn wir nun unendlich viele Terme addieren, wie bei einer Potenzreihe, könnte diese Eigenschaft theoretisch verloren gehen, falls die Summe am Rand des Konvergenzbereichs wild zu schwanken beginnt. Bleiben wir jedoch strikt innerhalb des Konvergenzradius und halten einen festen Abstand zum Rand ein, zwingt dieser Puffer die höheren Potenzen dazu, extrem schnell und kontrolliert gegen null zu schrumpfen. Dieser Dämpfungseffekt wirkt auf dem gesamten Teilbereich gleichmässig. Die unendliche Summe kann nicht mehr unerwartet ausbrechen, und die resultierende Grenzfunktion erbt zwingend die Stetigkeit der endlichen Polynome.

Satz#

Wenn wir uns von den gefährlichen Rändern fernhalten, kontrolliert der feste Abstand zur Grenze den maximalen Fehler aller Terme gleichzeitig. Die endlichen Teilsummen haben dann keine andere Wahl, als sich brav und ohne plötzliche Abweichungen an die stetige Grenzfunktion anzuschmiegen.

Beispiel#

Die geometrische Reihe $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ hat den Konvergenzradius $R=1$. Wählen wir einen fixen Radius $r = 0.9$. Auf dem Intervall $(-0.9, 0.9)$ konvergiert die Reihe gleichmässig gegen die Funktion $f(x) = \frac{1}{1-x}$. Da die Konvergenz hier gleichmässig ist, dürfen wir die Reihe gliedweise ableiten. Wir erhalten $\sum\limits_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$, was wiederum eine gültige, stetige Funktion auf diesem Bereich ist.

Gegenbeispiel#

Versuchen wir, die geometrische Reihe exakt am Rand des Konvergenzradius bei $x = 1$ auszuwerten. Wir erhalten die Summe $\sum\limits_{n=0}^\infty 1^n$. Das Trivialkriterium zeigt sofort, dass die Folge der Summanden nicht gegen null konvergiert. Die Reihe divergiert, und die schönen Eigenschaften der Stetigkeit und Differenzierbarkeit brechen am exakten Rand zusammen.

Übungen#

1. Warum garantieren wir gleichmässige Konvergenz nur auf Intervallen $(-r, r)$ mit $r < R$ und nicht direkt auf $(-R, R)$?
   • (a) Weil die Funktion bei $R$ immer unendlich wird.
   • (b) Weil das Verhalten exakt am Rand unvorhersehbar ist und die Fehlerabschätzung für die gleichmässige Konvergenz einen festen Puffer benötigt.
   • (c) Weil Potenzreihen ausserhalb von 0 gar nicht ableitbar sind.