Detaillierte Hinweise#

Falls du irgendwo stecken geblieben bist, helfen dir diese spezifischeren Tipps weiter.

Aufgabe 1: Injektivität, Surjektivität - I#

Schreibe den Zähler als 2 minus den Nenner, um den Bruch aufzuspalten. Das zeigt dir genau, wie die Funktion aus der reinen Kehrwertfunktion durch Spiegelung und Verschiebung entsteht. Um die Monotonie zu zeigen, nimmst du zwei Werte $x$ und $y$ mit $x \lt y$ an und formst die Ungleichung schrittweise um, bis du die Funktionswerte vergleichen kannst. Die Umkehrfunktion erhältst du, indem du die Gleichung $c = f(x)$ nach $x$ auflöst.

Aufgabe 2: Links- und rechtsseitige Grenzwerte#

Achte genau darauf, von welcher Seite der Grenzwert gebildet wird. Ein Plus im Index bedeutet, dass du dich dem Punkt von rechts näherst, ein Minus steht für eine Annäherung von links. Setze die abgelesenen Konstanten dann einfach in die geforderten Ausdrücke ein.

Aufgabe 3: Konvergenzradius#

Bei der ersten Reihe strebt die n-te Wurzel aus dem Term $2n+1$ für große $n$ gegen 1. Bei der zweiten Reihe wächst die Fakultät im Nenner viel schneller als jede Exponentialfunktion, was dir den Grenzwert für den Nenner sofort liefert. Für die dritte Reihe kannst du eine Substitution der Form $k = 2n$ durchführen, um die Standardformel für Konvergenzradien anwenden zu können.

Aufgabe 4: Multiple-Choice-Aufgaben#

Zu 1: Der natürliche Logarithmus ist nur für Argumente $\gt 0$ definiert. Überlege dir, an welchen Stellen der Betrag des Kosinus exakt null wird.

Zu 2: Suche die benachbarten Extremstellen der Sinusfunktion rund um den Punkt $x = 1$. Zwischen diesen beiden Extremstellen ist die Funktion streng monoton und damit injektiv.

Zu 3: Der Faktor $\sqrt[n]{n}$ konvergiert für $n$ gegen unendlich gegen 1. Das bedeutet, dass der zusätzliche Faktor $n$ den Limes superior und somit den Konvergenzradius der abgeleiteten Reihe nicht verändert.

Zu 4: Ein Gegenbeispiel für das Produkt monotoner Funktionen findest du schnell, wenn du ganz einfache lineare Funktionen wie $f(x) = x$ auf ganz $\mathbb{R}$ betrachtest.

Zu 5: Eine monotone Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall nimmt ihr Maximum und Minimum zwingend an den Randpunkten des Intervalls an. Damit hast du direkte Schranken für alle Funktionswerte gefunden.