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Satz von L'Hôpital II

Wie man hartnäckige Grenzwerte der Form Null mal Unendlich mit einem simplen Bruch-Trick knackt.

Manchmal stehen wir vor einem Grenzwert, der auf den ersten Blick unlösbar scheint, weil die Faktoren in entgegengesetzte Richtungen ziehen. Der direkte Weg ist versperrt, aber mit einer kleinen algebraischen Anpassung können wir die bekannten Werkzeuge der Analysis anwenden.

Problemstellung

Wir berechnen den folgenden Grenzwert für xx gegen Unendlich: lim⁡x→∞x2(2x−1)\lim\limits_{x \to \infty} x^2 \left(\sqrt[x]{2} - 1\right)

Lösungsansatz

Ich überprüfe bei solchen Grenzwerten immer zuerst die direkte Einsetzung. Dabei sehe ich sofort, dass x2x^2 ins Unendliche wächst. Der Term 2x\sqrt[x]{2} lässt sich als 21/x2^{1/x} schreiben. Wenn xx gegen Unendlich geht, nähert sich der Exponent 1/x1/x der Null an, womit der ganze Term gegen eins strebt. Die Klammer zieht also gegen null. Wir stehen vor dem Fall Unendlich mal Null.

Der Satz von de l'Hôpital verlangt zwingend einen Bruch der Form Null durch Null oder Unendlich durch Unendlich. Mein Ansatz ist daher, den Vorfaktor x2x^2 als Kehrwert 1x2\frac{1}{x^2} in den Nenner zu zwingen. So transformieren wir das Produkt in einen Quotienten und machen den Weg frei für die Ableitungsregeln.

Schritt-für-Schritt Lösung

Wir beginnen mit der Umformung der Wurzel in eine Potenzschreibweise und platzieren den quadratischen Faktor im Nenner. lim⁡x→∞21/x−11x2\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2^{1/x} - 1}{\frac{1}{x^2}}

Jetzt haben wir exakt den Fall Null durch Null vorliegen. Wir leiten Zähler und Nenner separat nach xx ab. Für den Zähler benötigen wir die Kettenregel. Die äussere Ableitung der Exponentialfunktion bleibt 21/x2^{1/x} multipliziert mit dem natürlichen Logarithmus der Basis 2. Die innere Ableitung des Exponenten 1x\frac{1}{x} ergibt −1x2-\frac{1}{x^2}. Im Nenner liefert die normale Potenzregel die Ableitung −2x3-\frac{2}{x^3}. lim⁡x→∞21/x⋅ln⁡(2)⋅(−1x2)−2x3\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2^{1/x} \cdot \ln(2) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{2}{x^3}}

Wir räumen den entstandenen Doppelbruch auf. Die negativen Vorzeichen heben sich auf. Wenn wir 1x2\frac{1}{x^2} durch 1x3\frac{1}{x^3} teilen, bleibt genau ein xx im Zähler übrig. Die Konstanten ziehen wir nach vorne. lim⁡x→∞12⋅x⋅21/x⋅ln⁡(2)\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{2} \cdot x \cdot 2^{1/x} \cdot \ln(2)

Nun betrachten wir das Verhalten der einzelnen Faktoren für xx gegen Unendlich. Der Faktor 21/x2^{1/x} nähert sich wieder der Eins. Der Faktor xx wächst ohne Schranke. Die Konstanten bleiben unverändert. Wir multiplizieren also Unendlich mit einer positiven Zahl. lim⁡x→∞12⋅x⋅21/x⋅ln⁡(2)=∞\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{2} \cdot x \cdot 2^{1/x} \cdot \ln(2) = \infty

Fazit

Der Grenzwert divergiert gegen Unendlich. Die saubere Rechnung zeigt, dass das quadratische Wachstum von x2x^2 das lineare Schrumpfen des hinteren Klammerterms komplett dominiert.

Weitere Übungen

Versuche nun selbst, ähnliche Fälle zu lösen. Das Prinzip der Umformung in einen Kehrbruch bleibt immer gleich.

  1. Berechne den Grenzwert lim⁡x→0+xln⁡(x)\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln(x).
Tipp anzeigenSchreibe xx als 1/x1/x in den Nenner, um einen Bruch der Form Unendlich durch Unendlich zu erhalten.
Lösung anzeigen Wir schreiben das Produkt als Bruch um. lim⁡x→0+ln⁡(x)1x \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} Der Zähler strebt gegen minus Unendlich, der Nenner gegen plus Unendlich. Wir können de l'Hôpital anwenden und leiten ab. lim⁡x→0+1x−1x2 \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} Wir vereinfachen den Ausdruck durch Multiplikation mit −x2-x^2. lim⁡x→0+(−x)=0 \lim\limits_{x \to 0^+} (-x) = 0
  1. Berechne den Grenzwert lim⁡x→∞xsin⁡(1x)\lim\limits_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right).
Tipp anzeigenBringe xx als Kehrbruch in den Nenner, um den Fall Null durch Null zu erzeugen.
Lösung anzeigen Wir schieben den Faktor xx in den Nenner. lim⁡x→∞sin⁡(1x)1x \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} Dies entspricht dem Fall Null durch Null. Wir leiten Zähler und Nenner ab, wobei wir im Zähler die Kettenregel beachten. lim⁡x→∞cos⁡(1x)⋅(−1x2)−1x2 \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}} Der Term −1x2-\frac{1}{x^2} kürzt sich vollständig weg. lim⁡x→∞cos⁡(1x) \lim\limits_{x \to \infty} \cos\left(\frac{1}{x}\right) Da 1/x1/x gegen null konvergiert und die Kosinusfunktion stetig ist, erhalten wir direkt den Funktionswert an der Stelle null. cos⁡(0)=1 \cos(0) = 1
  1. Berechne den Grenzwert lim⁡x→∞x(ln⁡(x+1)−ln⁡(x))\lim\limits_{x \to \infty} x (\ln(x+1) - \ln(x)).
Tipp anzeigenFasse die Logarithmen mit den Rechenregeln zusammen und schreibe xx als Kehrwert in den Nenner.
Lösung anzeigen Wir wenden zuerst das Logarithmusgesetz für Differenzen an. lim⁡x→∞xln⁡(x+1x) \lim\limits_{x \to \infty} x \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) Wir spalten den Bruch im Argument auf und schieben das xx in den Nenner. lim⁡x→∞ln⁡(1+1x)1x \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} Das ist der Fall Null durch Null. Wir leiten mit der Kettenregel ab. lim⁡x→∞11+1x⋅(−1x2)−1x2 \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}} Nach dem Kürzen von −1x2-\frac{1}{x^2} bleibt ein einfacher Bruchausdruck stehen. lim⁡x→∞11+1x=1 \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = 1
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