Monotonie, Konvexität und Extrema

Ableitungen steuern nicht nur lokale Linearisierung, sondern auch die globale Form des Graphen. Positives $f'$ bedeutet Steigung nach oben, positives $f''$ bedeutet Konvexität, und kritische Punkte sind Kandidaten für Extrema. Wir trennen dabei sauber, was notwendig und was hinreichend ist.

Monotonie#

Intuition#

Wenn die Tangente überall eine positive Steigung hat, kann der Graph nur nach oben laufen. Der Mittelwertsatz macht daraus eine präzise Aussage: zwischen zwei Punkten liegt immer eine Stelle, an der die Ableitung genau der Sekantensteigung entspricht.

Satz#

Die Kernaussage#

Für $x_1 < x_2$ in $I$ liefert der Mittelwertsatz ein $\xi$ mit $f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1)$. Ist $f'(\xi) > 0$, so folgt $f(x_2) > f(x_1)$. Bei $f' \ge 0$ folgt nur $f(x_2) \ge f(x_1)$.

Beispiel#

Für $f(x) = e^x$ gilt $f'(x) = e^x > 0$ überall. Die Exponentialfunktion ist streng wachsend auf $\mathbb{R}$.

Gegenbeispiel#

Die Bedingung $f' > 0$ ist hinreichend, aber nicht notwendig für strenge Monotonie. Bei $f(x) = x^3$ gilt $f'(x) = 3x^2 \ge 0$ und $f'(0) = 0$, trotzdem ist $f$ streng wachsend: aus $x_1 < x_2$ folgt $x_1^3 < x_2^3$. Die schwache Ungleichung $f' \ge 0$ reicht hier für strenges Wachstum.

Konvexität#

Intuition#

Eine Funktion ist konvex, wenn ihr Graph zwischen zwei Punkten unter der Sekante durch diese Punkte bleibt. Anschaulich: die Sehne liegt oberhalb des Graphen. Konkavität ist das Spiegelbild: der Graph liegt über der Sekante.

Definition#

Satz#

Beispiel#

Die Funktionen $x^2$, $e^x$, $|x|$ und $x$ (als lineare Funktion) sind konvex. Auch der punktweise Grenzwert $f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} x^n$ auf $[0,1]$ ist konvex: er ist $0$ auf $[0,1)$ und $1$ bei $x = 1$, und der Graph bleibt unter jeder Sekante.

Gegenbeispiel#

Bei $f(x) = x^3$ wechselt $f''(x) = 6x$ bei null das Vorzeichen. Links von null ist $f$ konkav, rechts konvex. Der Punkt $x = 0$ ist ein Wendepunkt: dort ändert sich die Krümmungsrichtung.

Extrema#

Intuition#

An einem lokalen Extremum im Inneren kann die Tangente nicht steil nach oben oder unten zeigen, sonst ginge es lokal noch weiter bergauf oder bergab. Also muss dort $f' = 0$ gelten, sofern die Ableitung existiert. Ob daraus wirklich ein Extremum wird, ist eine andere Frage. Und ob ein globales Extremum existiert, hängt stark vom Definitionsbereich ab: offene Ränder können Werte andeuten, die nie angenommen werden.

Satz#

Ein lokales Maximum bei $x_0$ bedeutet: in einer Umgebung gilt $f(x) \le f(x_0)$. Ein globales Maximum auf dem Definitionsbereich bedeutet: $f(x) \le f(x_0)$ für alle $x$ im Definitionsbereich. Analog für Minima.

Beispiel#

Auf dem abgeschlossenen Intervall $[0,2]$ nimmt $f(x) = x(2-x)$ ihr globales Maximum bei $x = 1$ an, denn $f'(x) = 2 - 2x = 0$ genau dort, und am Rand sind die Werte kleiner. Kritischer Punkt und globales Extremum fallen zusammen.

Gegenbeispiel 1: kritischer Punkt ohne Extremum#

Bei $f(x) = x^3$ gilt $f'(0) = 0$, aber $f$ wechselt bei null nur die Steigung von flach zu wieder steigend, ohne zu fallen. Es gibt kein lokales Extremum bei null. Die Bedingung $f' = 0$ ist notwendig, aber nicht hinreichend.

Gegenbeispiel 2: offener Rand ohne Maximum#

Ein globales Extremum existiert nur, wenn ein konkreter $x$-Wert den Extremwert annimmt. Betrachte $f(x) = x$ auf dem offenen Intervall $(0,1)$. Die Funktion kommt dem Wert $1$ beliebig nahe, nimmt ihn aber nie an. Es gibt kein globales Maximum. In Skizzen entspricht das einem offenen Kreis am Rand: der Punkt gehört nicht zum Graphen.

Übungen#

1. Sei $f'(x) > 0$ auf $(a,b)$. Welche Aussage ist korrekt?

   • (a) $f$ ist streng fallend.
   • (b) $f$ ist streng wachsend.
   • (c) $f$ hat ein Extremum in $(a,b)$.
   • (d) $f''$ existiert und ist positiv.

2. Welche der folgenden Funktionen ist auf $\mathbb{R}$ konvex?

   • (a) $f(x) = x^3$
   • (b) $f(x) = -x^2$
   • (c) $f(x) = e^x$
   • (d) $f(x) = \sin(x)$

3. Sei $f(x) = x^3$ und $x_0 = 0$. Welche Aussage stimmt?

   • (a) $x_0$ ist kritisches lokales Maximum.
   • (b) $x_0$ ist kritischer Punkt, aber kein lokales Extremum.
   • (c) $x_0$ ist kein kritischer Punkt.
   • (d) $f$ hat bei $x_0$ ein globales Minimum.