Differenzierbarkeit

In diesem Beitrag geht es um die lokale Linearisierung von Funktionen. Unter dem Mikroskop soll der Graph wie eine Gerade aussehen. Wir präzisieren, was das heisst, und sehen, dass Stetigkeit dafür nicht reicht und dass selbst eine existierende Ableitung nicht stetig sein muss.

Differenzierbarkeit in einem Punkt#

Intuition#

Stell dir vor, du zoomst immer näher an den Graphen einer Funktion heran. Bei vielen Funktionen wird der Graph unter diesem unendlichen Zoom flach wie eine Gerade. Die Steigung dieser Gerade ist die Ableitung. Der Differenzenquotient misst die Sekantensteigung zwischen $c$ und $c+h$. Schickt man $h$ gegen null, wird aus der Sekante die Tangente.

Definition#

Der Quotient $\frac{f(c+h) - f(c)}{h}$ heisst Differenzenquotient. Existiert der Grenzwert, spricht man vom Differentialquotienten. Existiert $f'(x)$ für jedes $x$ in einem Intervall $I$, so heisst $f$ differenzierbar auf $I$.

Beispiel#

Betrachte $f(x) = x^2$ an einer beliebigen Stelle $c$. Der Differenzenquotient lautet

$\frac{f(c+h) - f(c)}{h} = \frac{(c+h)^2 - c^2}{h} = \frac{2ch + h^2}{h} = 2c + h$

Für $h \to 0$ erhalten wir $f'(c) = 2c$. Die Tangente in $c$ ist also $y = c^2 + 2c(x - c)$.

Satz#

Die Kernaussage#

Schreibe $f(c+h) - f(c) = h \cdot \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$. Der Differenzenquotient konvergiert gegen $f'(c)$, und $h$ gegen null. Das Produkt geht also gegen null, und damit gilt $\lim\limits_{h \to 0} f(c+h) = f(c)$.

Gegenbeispiele#

Gegenbeispiel 1: stetig, aber nicht differenzierbar#

Die Betragsfunktion $f(x) = |x|$ ist überall stetig, aber bei $c = 0$ nicht differenzierbar. Für $h > 0$ gilt

$\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{|h|}{h} = 1$

Für $h < 0$ gilt

$\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{|h|}{h} = -1$

Linker und rechter Differenzenquotient konvergieren gegen verschiedene Werte. Der Grenzwert für $h \to 0$ existiert also nicht. Am Nullpunkt sitzt ein Knick: unter dem Mikroskop bleibt der Graph eine Ecke und wird nie zu einer Gerade.

Ein verwandtes Beispiel aus der Serie ist $g(x) = x\sin(1/x)$ für $x \neq 0$ und $g(0) = 0$. Diese Funktion ist bei null stetig (Sandwich mit $|g(x)| \le |x|$). Der Differenzenquotient bei null ist aber

$\frac{g(h) - g(0)}{h} = \sin(1/h)$

Dieser Ausdruck oszilliert zwischen $-1$ und $1$ und konvergiert nicht. Mit der Nullfolge $h_n = \frac{1}{\pi/2 + n\pi}$ erhält man abwechselnd die Werte $1$ und $-1$.

Gegenbeispiel 2: differenzierbar, aber nicht $C^1$#

Nicht jede differenzierbare Funktion hat eine stetige Ableitung. Definiere

$f(x) = \begin{cases} x^2\sin(1/x) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$

Wegen $|f(x)| \le x^2$ liefert der Sandwichsatz $f'(0) = 0$:

$\left|\frac{f(h) - f(0)}{h}\right| = \left|h\sin(1/h)\right| \le |h| \to 0$

Für $x \neq 0$ gilt mit Produkt- und Kettenregel

$f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)$

Der Term $-\cos(1/x)$ oszilliert wild, wenn $x$ gegen null geht. Es gibt also keine stetige Fortsetzung von $f'$ nach null, obwohl $f'(0)$ existiert. Kurz: differenzierbar heisst nicht automatisch $C^1$.

Übungen#

1. Welche der folgenden Funktionen ist bei $x = 0$ differenzierbar?

   • (a) $f(x) = |x|$
   • (b) $f(x) = x|x|$
   • (c) $f(x) = x\sin(1/x)$ für $x \neq 0$, $f(0) = 0$
   • (d) $f(x) = \sqrt{|x|}$

2. Warum reicht Stetigkeit nicht aus, um Differenzierbarkeit zu garantieren?

   • (a) Weil stetige Funktionen unbeschränkt sein können.
   • (b) Weil der Differenzenquotient trotz stetigem Graphen keinen Grenzwert haben muss, etwa bei einem Knick.
   • (c) Weil Stetigkeit nur auf kompakten Intervallen gilt.
   • (d) Weil jede stetige Funktion eine stetige Ableitung besitzt.

3. Sei $f(x) = x^2\sin(1/x)$ für $x \neq 0$ und $f(0) = 0$. Welche Aussage ist korrekt?

   • (a) $f$ ist bei null nicht differenzierbar.
   • (b) $f$ ist bei null differenzierbar und $f'$ ist bei null stetig.
   • (c) $f$ ist bei null differenzierbar, aber $f'$ ist bei null unstetig.
   • (d) $f$ ist bei null unstetig.