Satz von Rolle und Mittelwertsatz

Der Mittelwertsatz verbindet die Steigung einer Sekante mit der Ableitung irgendwo dazwischen. Der Satz von Rolle ist der Spezialfall mit gleichen Randwerten und der natürliche Zwischenschritt dorthin. Danach schauen wir zwei typische Anwendungen und ein Gegenbeispiel, bei dem die Voraussetzungen fehlen.

Satz von Rolle#

Intuition#

Stell dir einen Graphen vor, der bei $a$ und bei $b$ denselben Höhenwert hat. Irgendwo dazwischen muss die Tangente waagrecht sein: entweder die Funktion ist konstant und jede Tangente ist waagrecht, oder sie steigt und fällt wieder und hat dazwischen ein Extremum. Am Extremum im Inneren ist die Ableitung null.

Lemma#

Die Kernaussage#

Nach dem Min-Max-Satz nimmt $f$ auf dem Kompaktum $[a,b]$ Minimum und Maximum an. Sind beide am Rand und wegen $f(a) = f(b)$ gleich, so ist $f$ konstant und $f' \equiv 0$. Sonst liegt mindestens ein Extremum im Inneren. Dort muss $f'$ verschwinden, sonst würde die Funktion lokal weiter steigen oder fallen.

Mittelwertsatz#

Intuition#

Beim Satz von Rolle ist die Sekante zwischen $a$ und $b$ waagrecht. Kippt man die Situation, so dass die Sekante eine beliebige Steigung hat, sucht man eine Tangente mit genau derselben Steigung. Formal: man zieht von $f$ die Sekantengerade ab und wendet Rolle auf die Differenzfunktion an.

Satz#

Korollar#

Denn für beliebige $x_1, x_2 \in I$ liefert der Mittelwertsatz ein $\xi$ mit $f'(\xi) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = 0$, also $f(x_2) = f(x_1)$.

Beispiel: arctan und arccot#

Wir beweisen $\arctan(x) + \operatorname{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}$ für alle $x \in \mathbb{R}$. Setze $f(x) = \arctan(x) + \operatorname{arccot}(x)$. Dann gilt

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0$

Nach Korollar 2.2 ist $f$ konstant. Bei $x = 0$ erhalten wir $f(0) = \arctan(0) + \operatorname{arccot}(0) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. Also gilt die Identität überall.

Beispiel: Schrankensatz#

Gibt es eine differenzierbare Funktion $f$ mit $f(0) = 1$, $f(2) = 4$ und $f'(x) \le 2$ für alle $x$? Der Mittelwertsatz fordert ein $\xi \in (0,2)$ mit

$f'(\xi) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{3}{2}$

Der Wert $\frac{3}{2}$ ist höchstens $2$, widerspricht der Schranke also nicht. Ein konkretes Beispiel ist die Gerade $f(x) = 1 + \frac{3}{2}x$: sie erfüllt die Randwerte und $f'(x) = \frac{3}{2} \le 2$.

Wäre die Schranke strenger, etwa $f'(x) \le 1$, so wäre $\frac{3}{2} \le 1$ unmöglich. Dann gäbe es keine solche Funktion.

Gegenbeispiel#

Ohne Differenzierbarkeit im Inneren scheitert der Mittelwertsatz. Betrachte $f(x) = |x|$ auf $[-1,1]$. Es gilt $f(-1) = f(1) = 1$, also wäre nach Rolle ein $\xi$ mit $f'(\xi) = 0$ nötig. Aber $f'(x) = -1$ für $x < 0$ und $f'(x) = 1$ für $x > 0$, und bei null ist $f$ nicht differenzierbar. Es gibt kein solches $\xi$.

Übungen#

1. Sei $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ stetig, differenzierbar auf $(a,b)$, mit $f(a) < 0 < f(b)$ und $f'(x) \neq 0$ für alle $x \in (a,b)$. Welche Aussage folgt?

   • (a) $f$ hat keine Nullstelle.
   • (b) $f$ hat genau eine Nullstelle in $(a,b)$.
   • (c) $f$ hat mindestens zwei Nullstellen.
   • (d) Über die Anzahl der Nullstellen lässt sich nichts sagen.

2. Warum gilt $|\sin x - \sin y| \le |x - y|$ für alle $x, y \in \mathbb{R}$?

   • (a) Weil $\sin$ beschränkt ist.
   • (b) Weil der Mittelwertsatz ein $\xi$ mit $|\sin x - \sin y| = |\cos \xi| \cdot |x - y|$ liefert und $|\cos \xi| \le 1$.
   • (c) Weil $\sin$ periodisch ist.
   • (d) Weil $\sin' = \cos$ nirgends null ist.

3. Existiert eine differenzierbare Funktion mit $f(0) = 0$, $f(1) = 3$ und $f'(x) \le 2$ überall?

   • (a) Ja, zum Beispiel $f(x) = 3x$.
   • (b) Ja, zum Beispiel $f(x) = 2x$.
   • (c) Nein, denn der Mittelwertsatz würde $f'(\xi) = 3$ fordern, was $f' \le 2$ widerspricht.
   • (d) Nein, weil solche Randwerte stetige Funktionen ausschliessen.