Detaillierte Hinweise#

Falls du irgendwo stecken geblieben bist, helfen dir diese spezifischeren Tipps weiter.

Aufgabe 1: Regel von Bernoulli-l'Hospital#

Bei Teil c kannst du den Grenzwert durch direktes Einsetzen berechnen, da der Nenner nicht null wird. Bei den Teilen d und f musst du die Regel mehrfach anwenden. Bei Teil f bringst du die beiden Brüche am besten zuerst auf einen gemeinsamen Nenner.

Aufgabe 2: Mittelwertsatz#

Wenn du für Teil a annimmst, es gäbe zwei Nullstellen $x_1 \lt x_2$, sagt der Mittelwertsatz, dass dazwischen ein Punkt mit Ableitung null existieren muss. Das widerspricht den Voraussetzungen. Bei Teil b betrachte die Funktion $\sin(x)$ auf dem Intervall zwischen $x$ und $y$. Wie gross kann die Ableitung maximal werden?

Aufgabe 3: Globale Extrema#

Ein globales Maximum oder Minimum existiert nur, wenn es einen konkreten x-Wert gibt, an dem dieser Funktionswert erreicht wird. Wenn die Funktion stetig gegen eine Lücke wächst, gibt es dort kein Maximum.

Aufgabe 4: Hyperbolische Funktionen#

Nutze die Identität $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$, um die Gleichung nach dem Einsetzen zu verifizieren. Für den zweiten Teil überlege dir, an welcher Stelle die Kettenlinie ihren tiefsten Punkt hat und wie die Vorfaktoren die Krümmung beeinflussen.

Aufgabe 5: Differenzierbarkeit am Nullpunkt#

Für Teil a suchst du eine Nullfolge $h_n$, für die der Differenzenquotient nicht konvergiert. Wähle Werte, bei denen der Sinus abwechselnd 1 und -1 liefert. Bei Teil b kannst du den Sandwichsatz anwenden, da die Sinusfunktion stets durch 1 und -1 beschränkt ist.

Aufgabe 6: Multiple-Choice-Aufgaben#

Bei Frage 3 hilft es, konkrete Funktionen wie Exponentialfunktionen oder Quadrierungen zu verknüpfen. Bei Frage 5 werte den Ausdruck $\min\{x, x^{-1}\}$ getrennt für $x=1$ und für $x \neq 1$ aus, um das Verhalten der Liminf-Funktion zu verstehen. Bei Frage 9 spielt es eine grosse Rolle, ob der Definitionsbereich ein einziges zusammenhängendes Intervall ist.