Der Wurzeltrick bei Folgen

Manchmal stösst man bei der Grenzwertbestimmung auf Differenzen, bei denen beide Terme gegen unendlich streben. Ein naiver Blick liefert dann nur den unbestimmten Ausdruck unendlich minus unendlich, womit man nicht weiterkommt. Hier hilft ein algebraischer Kniff, den wir uns nun an einem klassischen Beispiel ansehen.

Problemstellung#

Bestimme den Grenzwert der Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$, definiert durch: $a_n = \sqrt{n^2 + 5n} - n$ für $n \to \infty$.

Lösungsansatz#

Setzt man für $n$ immer grössere Zahlen ein, wachsen sowohl der Ausdruck unter der Wurzel als auch der abgezogene Term $n$ ins Unendliche. Da wir nicht einfach unendlich von unendlich abziehen können, müssen wir den Ausdruck umformen. Der Schlüssel dazu ist die dritte binomische Formel. Wir erweitern den gesamten Ausdruck mit seinem konjugierten Term, also dem gleichen Ausdruck mit einem Pluszeichen in der Mitte. Dadurch verschwindet die Wurzel im Zähler, und wir können das dominante Wachstum für grosse $n$ besser analysieren, indem wir die höchste Potenz von $n$ ausklammern.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir betrachten den Term als Bruch mit Nenner $1$ und erweitern mit $\sqrt{n^2 + 5n} + n$: $a_n = \frac{(\sqrt{n^2 + 5n} - n)(\sqrt{n^2 + 5n} + n)}{\sqrt{n^2 + 5n} + n}$

Im Zähler wenden wir die dritte binomische Formel an. Die Wurzel quadriert sich weg, und wir ziehen das Quadrat des zweiten Terms ab: $a_n = \frac{(n^2 + 5n) - n^2}{\sqrt{n^2 + 5n} + n}$

Das vereinfacht sich im Zähler durch Wegfallen von $n^2$ zu: $a_n = \frac{5n}{\sqrt{n^2 + 5n} + n}$

Wir haben nun ein Polynom ersten Grades im Zähler und einen Term im Nenner, der ebenfalls grob linear wächst, da die Wurzel aus $n^2$ wieder $n$ ergibt. Wir klammern unter der Wurzel $n^2$ aus: $a_n = \frac{5n}{\sqrt{n^2(1 + \frac{5}{n})} + n}$

Da $n$ eine positive natürliche Zahl ist, können wir die Wurzel teilweise ziehen und $n$ aus der Wurzel herausnehmen: $a_n = \frac{5n}{n\sqrt{1 + \frac{5}{n}} + n}$

Jetzt klammern wir im Nenner $n$ komplett aus: $a_n = \frac{5n}{n(\sqrt{1 + \frac{5}{n}} + 1)}$

Wir kürzen das $n$ im Zähler und Nenner: $a_n = \frac{5}{\sqrt{1 + \frac{5}{n}} + 1}$

Lassen wir nun $n$ gegen unendlich laufen, strebt der Bruch $\frac{5}{n}$ gegen $0$. Die Grenzwertsätze erlauben es uns, den Limes direkt auf diesen Teilterm anzuwenden: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \frac{5}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Das rechnen wir aus und erhalten den finalen Wert: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \frac{5}{2}$

Fazit#

Der anfänglich unbestimmte Ausdruck der Folge stabilisiert sich exakt bei $2.5$. Der Wurzeltrick wandelte die problematische Differenz im Zähler in einen echten Bruch um, bei dem wir das asymptotische Wachstum von Zähler und Nenner direkt vergleichen und durch Kürzen auflösen konnten.

Weitere Übungen#

1. Bestimme den Grenzwert der Folge $b_n = \sqrt{n^2 + 3n + 1} - n$.

Tipp anzeigen

Erweitere mit dem konjugierten Term $\sqrt{n^2 + 3n + 1} + n$ und klammere danach $n$ im Nenner aus.

Lösung anzeigen

Wir erweitern mit dem konjugierten Term: $$b_n = \frac{(\sqrt{n^2 + 3n + 1} - n)(\sqrt{n^2 + 3n + 1} + n)}{\sqrt{n^2 + 3n + 1} + n}$$

Die dritte binomische Formel liefert im Zähler: $b_n = \frac{(n^2 + 3n + 1) - n^2}{\sqrt{n^2 + 3n + 1} + n} = \frac{3n + 1}{\sqrt{n^2 + 3n + 1} + n}$

Wir klammern $n^2$ unter der Wurzel und $n$ im Nenner aus: $b_n = \frac{n\!\left(3 + \frac{1}{n}\right)}{n\!\left(\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}} + 1\right)}$

Das $n$ kürzt sich heraus. Für $n \to \infty$ verschwinden alle Bruchterme: $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \frac{3 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} = \frac{3}{2}$

2. Bestimme den Grenzwert der Folge $c_n = \sqrt{4n^2 + n} - 2n$.

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Erweitere mit $\sqrt{4n^2 + n} + 2n$ und beachte beim Ausklammern, dass der führende Koeffizient unter der Wurzel $4$ ist.

Lösung anzeigen

Wir erweitern mit dem konjugierten Term: $$c_n = \frac{(\sqrt{4n^2 + n} - 2n)(\sqrt{4n^2 + n} + 2n)}{\sqrt{4n^2 + n} + 2n}$$

Die dritte binomische Formel vereinfacht den Zähler: $c_n = \frac{(4n^2 + n) - 4n^2}{\sqrt{4n^2 + n} + 2n} = \frac{n}{\sqrt{4n^2 + n} + 2n}$

Wir klammern $n^2$ unter der Wurzel und $n$ im Nenner aus. Da $n > 0$ gilt $\sqrt{4n^2} = 2n$: $c_n = \frac{n}{n\!\left(\sqrt{4 + \frac{1}{n}} + 2\right)}$

Das $n$ kürzt sich. Für $n \to \infty$ gilt: $\lim\limits_{n \to \infty} c_n = \frac{1}{\sqrt{4 + 0} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

3. Bestimme den Grenzwert der Folge $d_n = n\!\left(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1\right)$.

Tipp anzeigen

Schreibe den Ausdruck als Bruch mit Nenner $1$ und erweitere dann mit dem konjugierten Term der Klammer.

Lösung anzeigen

Wir schreiben $d_n$ als Bruch und erweitern mit dem konjugierten Term $\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1$: $$d_n = \frac{n\!\left(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1\right)\!\left(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1\right)}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$$

Die dritte binomische Formel ergibt im Zähler: $d_n = \frac{n\!\left[\left(1 + \frac{1}{n}\right) - 1\right]}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{n \cdot \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$

Für $n \to \infty$ gilt: $\lim\limits_{n \to \infty} d_n = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2}$