Satz von Vieta

Oft stehen wir vor einer quadratischen Gleichung und möchten die Nullstellen finden, ohne gleich die lange Lösungsformel aufzuschreiben. Der Satz von Vieta bietet uns hier eine direkte Abkürzung. Wir schauen uns an, wie die Zahlen vor dem $x$ direkt mit den eigentlichen Lösungen zusammenhängen.

Problemstellung#

Finde die Nullstellen der folgenden drei quadratischen Gleichungen im Kopf, ohne die Mitternachtsformel oder die pq-Formel zu verwenden:

1. $x^2 - 8x + 15 = 0$
2. $x^2 - x - 6 = 0$
3. $x^2 + 5x + 6 = 0$

Lösungsansatz#

Warum funktioniert der Satz von Vieta überhaupt? Wenn eine quadratische Gleichung die Form $x^2 + px + q = 0$ hat und die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ besitzt, können wir sie immer als Produkt von Linearfaktoren schreiben: $(x - x_1)(x - x_2) = 0$. Multiplizieren wir das aus, erhalten wir $x^2 - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 = 0$, was wir wiederum zu $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$ zusammenfassen.

Ein Vergleich der Koeffizienten liefert uns sofort die gesuchte Regel.

Besonders auf die Vorzeichen musst du hier sehr genau achten. Ein negatives $p$ bedeutet, dass die Summe der Nullstellen positiv wird, da wir das Vorzeichen umkehren müssen. Das $q$ verrät uns sofort, ob die Nullstellen das gleiche Vorzeichen haben (positives $q$) oder unterschiedliche Vorzeichen besitzen (negatives $q$).

Schritt-für-Schritt Lösung#

Gehen wir die drei Beispiele durch.

Beispiel 1: $x^2 - 8x + 15 = 0$ Wir suchen zwei Zahlen $x_1$ und $x_2$, für die gilt: $x_1 \cdot x_2 = 15$ $x_1 + x_2 = 8$ Hier fällt der scheinbare Widerspruch auf, den viele am Anfang übersehen. Obwohl in der Gleichung ein Minus vor der 8 steht, ist die Summe der Nullstellen positiv. Das liegt an der Regel $x_1 + x_2 = -p$, also rechnen wir $-(-8)$. Da das Produkt 15 positiv ist, müssen beide Nullstellen das gleiche Vorzeichen haben. Da die Summe 8 positiv ist, müssen zwingend beide Nullstellen positiv sein. Wir gehen im Kopf die Teiler von 15 durch: 1 und 15 (Summe 16) sowie 3 und 5 (Summe 8). Die Lösung lautet somit $x_1 = 3$ und $x_2 = 5$.

Beispiel 2: $x^2 - x - 6 = 0$ Hier lauten unsere Bedingungen: $x_1 \cdot x_2 = -6$ $x_1 + x_2 = 1$ Das Produkt ist negativ, also hat eine Nullstelle ein positives und die andere ein negatives Vorzeichen. Die Summe ist positiv, also muss die positive Zahl betragsmässig grösser sein als die negative. Die Faktoren von 6 sind 1 und 6 (Differenz 5) oder 2 und 3 (Differenz 1). Damit die Summe 1 ergibt, wählen wir $x_1 = 3$ und $x_2 = -2$.

Beispiel 3: $x^2 + 5x + 6 = 0$ Wir suchen: $x_1 \cdot x_2 = 6$ $x_1 + x_2 = -5$ Das Produkt ist positiv, die Vorzeichen sind also gleich. Die Summe ist diesmal negativ, was nur möglich ist, wenn beide Nullstellen negativ sind. Die Teiler von 6, deren Summe betragsmässig 5 ergibt, sind 2 und 3. Da beide ein Minus benötigen, lauten die Lösungen $x_1 = -2$ und $x_2 = -3$.

Fazit#

Der Satz von Vieta verknüpft die Summe und das Produkt der Nullstellen direkt mit den Koeffizienten der Polynomgleichung, wodurch wir durch geschicktes Raten der Teiler von $q$ sofort die Lösungen ablesen können.

Weitere Übungen#

Bestimme die Nullstellen der folgenden quadratischen Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

1. $x^2 - 7x + 10 = 0$

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Das Produkt ist positiv und die Summe ist 7.

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Wir suchen zwei Zahlen mit Produkt 10 und Summe 7. Die Teiler von 10 sind 1 und 10 sowie 2 und 5. Die Summe von 2 und 5 ergibt 7. Die Lösungen sind somit $x_1 = 2$ und $x_2 = 5$.

2. $x^2 + 2x - 8 = 0$

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Das Produkt ist negativ, also gibt es unterschiedliche Vorzeichen.

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Wir suchen zwei Zahlen mit Produkt -8 und Summe -2. Die Zahlen 4 und 2 haben eine Differenz von 2. Damit die Summe negativ wird, muss die betragsmässig grössere Zahl negativ sein. Die Lösungen sind $x_1 = -4$ und $x_2 = 2$.

3. $x^2 + 7x + 12 = 0$

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Das Produkt ist positiv, aber die Summe ist negativ.

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Wir suchen zwei Zahlen mit Produkt 12 und Summe -7. Da das Produkt positiv und die Summe negativ ist, sind beide Nullstellen negativ. Die Teiler 3 und 4 ergeben zusammen 7. Die Lösungen sind $x_1 = -3$ und $x_2 = -4$.

4. $x^2 - 10x + 24 = 0$

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Beide Nullstellen müssen positiv sein.

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Wir suchen zwei Zahlen mit Produkt 24 und Summe 10. Wir prüfen die Teilerpaare von 24: 1 und 24, 2 und 12, 3 und 8, 4 und 6. Die Summe von 4 und 6 ergibt genau 10. Die Lösungen sind $x_1 = 4$ und $x_2 = 6$.

5. $x^2 - 3x - 28 = 0$

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Die positive Nullstelle muss betragsmässig grösser sein.

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Wir suchen zwei Zahlen mit Produkt -28 und Summe 3. Die Vorzeichen sind unterschiedlich. Die Teiler 4 und 7 haben eine Differenz von 3. Da die Summe positiv sein muss, ist die grössere Zahl positiv. Die Lösungen sind $x_1 = 7$ und $x_2 = -4$.