Konvergenz von Brüchen

Oft stehst du in der Analysis vor Brüchen, bei denen sowohl der Zähler als auch der Nenner mit wachsendem Index ins Unendliche streben. Wenn du den direkten Grenzwert bildest, stösst du auf einen unbestimmten Ausdruck, womit der direkte Weg blockiert ist.

Problemstellung#

Bestimme den folgenden Grenzwert der Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ für $n \to \infty$:

$a_n = \frac{5n^3 - 2n^2 + 7}{2n^3 + 4n - 1}$

Lösungsansatz#

Um das Problem des unbestimmten Ausdrucks zu lösen, klammern wir die höchste Potenz von $n$ aus, die im Nenner vorkommt. Das Ziel dieser algebraischen Umformung ist es, Konstanten und echte Brüche zu erzeugen.

Wenn wir diese Nullfolgen durch das Ausklammern isolieren, können wir die Grenzwertsätze für Summen und Quotienten problemlos anwenden.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir betrachten den Ausdruck und identifizieren die höchste Potenz im Nenner. In diesem Fall ist das $n^3$. Wir klammern nun $n^3$ sowohl im Zähler als auch im Nenner aus.

$a_n = \frac{n^3 \left(5 - \frac{2}{n} + \frac{7}{n^3}\right)}{n^3 \left(2 + \frac{4}{n^2} - \frac{1}{n^3}\right)}$

Da $n$ gegen unendlich strebt und somit strikt positiv ist, dürfen wir den Faktor $n^3$ wegkürzen.

$a_n = \frac{5 - \frac{2}{n} + \frac{7}{n^3}}{2 + \frac{4}{n^2} - \frac{1}{n^3}}$

Nun wenden wir den Limes für $n \to \infty$ auf den gesamten Bruch an. Gemäss den Grenzwertsätzen dürfen wir den Limes in den Zähler und Nenner ziehen, solange der Grenzwert des Nenners nicht null ist.

$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \frac{\lim\limits_{n \to \infty} \left(5 - \frac{2}{n} + \frac{7}{n^3}\right)}{\lim\limits_{n \to \infty} \left(2 + \frac{4}{n^2} - \frac{1}{n^3}\right)}$

Alle Terme, die ein $n$ im Nenner haben, konvergieren gegen null.

$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \frac{5 - 0 + 0}{2 + 0 - 0}$

Das liefert uns direkt den finalen Grenzwert.

$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \frac{5}{2}$

Fazit#

Der Grenzwert eines Bruchs von Polynomen wird ausschliesslich durch die Terme mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Die restlichen Terme spielen für das Langzeitverhalten der Folge keine Rolle und verschwinden nach dem Ausklammern im Grenzwert vollständig.

Weitere Übungen#

1. Bestimme den Grenzwert der Folge $b_n = \frac{4n^2 + 3n}{7n^3 - 2}$.

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Klammere die höchste Potenz des Nenners aus und vergleiche danach die verbleibenden Grade von Zähler und Nenner.

Lösung anzeigen

Wir klammern $n^3$ im Zähler und im Nenner aus:

$b_n = \frac{n^3\!\left(\frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}\right)}{n^3\!\left(7 - \frac{2}{n^3}\right)}$

Nach dem Kürzen von $n^3$ ergibt sich:

$b_n = \frac{\frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}}{7 - \frac{2}{n^3}}$

Für $n \to \infty$ streben alle Terme mit $n$ im Nenner gegen null:

$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \frac{0 + 0}{7 - 0} = 0$

2. Bestimme den Grenzwert der Folge $c_n = \frac{\sqrt{9n^2 + 4}}{n + 5}$.

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Klammere $n^2$ unter der Wurzel aus, sodass beim Herausziehen ein Faktor $n$ entsteht, der sich mit dem Nenner kürzen lässt.

Lösung anzeigen

Wir klammern $n^2$ unter der Wurzel und $n$ im Nenner aus. Da $n > 0$ gilt $\sqrt{n^2} = n$:

$c_n = \frac{\sqrt{n^2\!\left(9 + \frac{4}{n^2}\right)}}{n\!\left(1 + \frac{5}{n}\right)} = \frac{n\sqrt{9 + \frac{4}{n^2}}}{n\!\left(1 + \frac{5}{n}\right)}$

Der Faktor $n$ kürzt sich heraus:

$c_n = \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{n^2}}}{1 + \frac{5}{n}}$

Für $n \to \infty$ konvergieren die Bruchterme gegen null:

$\lim\limits_{n \to \infty} c_n = \frac{\sqrt{9 + 0}}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3$

3. Bestimme das Verhalten der Folge $d_n = \frac{n^4 - 1}{3n^2 + 2n}$.

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Klammere die höchste Potenz des Nenners aus und beobachte, welche Potenz von $n$ nach dem Kürzen im Zähler übrig bleibt.

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Wir klammern $n^4$ im Zähler und $n^2$ im Nenner aus:

$d_n = \frac{n^4\!\left(1 - \frac{1}{n^4}\right)}{n^2\!\left(3 + \frac{2}{n}\right)}$

Nach dem Kürzen von $n^2$ verbleibt im Zähler ein freier Faktor $n^2$:

$d_n = \frac{n^2\!\left(1 - \frac{1}{n^4}\right)}{3 + \frac{2}{n}}$

Für $n \to \infty$ gilt $(1 - \frac{1}{n^4}) \to 1$ und $(3 + \frac{2}{n}) \to 3$. Der Zähler wächst jedoch wie $n^2$ ohne Schranke, während der Nenner gegen $3$ konvergiert:

$\lim\limits_{n \to \infty} d_n = +\infty$

Die Folge divergiert bestimmt gegen unendlich.

4. Bestimme den Grenzwert von $x_n = \frac{4^{n+1}}{3^n -4^n}$

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Ähnlich wie bei den Polynomen: Was kann man hier ausklammern?

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Wir versuchen, einen gemeinsamen Faktor im Zähler und Nenner herauszuheben.

Zunächst schreiben wir den Zähler als $4^{n+1} = 4 \cdot 4^n$:

$$x_n = \frac{4 \cdot 4^n}{3^n - 4^n}$$

Nun klammern wir im Nenner $4^n$ aus:

$$x_n = \frac{4 \cdot 4^n}{3^n - 4^n} = \frac{4 \cdot 4^n}{4^n \left(\frac{3^n}{4^n} - 1\right)} = \frac{4}{\frac{3^n}{4^n} - 1}$$

Beachte, dass $\frac{3^n}{4^n} = \left(\frac{3}{4}\right)^n$, und für $n \to \infty$ gilt $\left(\frac{3}{4}\right)^n \to 0$, weil $\frac{3}{4} < 1$.

Also:

$$x_n = \frac{4}{\left(\frac{3}{4}\right)^n - 1}$$

Für $n \to \infty$ verschwindet der erste Term im Nenner gegen $0$:

$$x_n \xrightarrow{n \to \infty} \frac{4}{0 - 1} = -4$$

Der Grenzwert der Folge ist $-4$.