Rekursive Folgen

Bei rekursiven Folgen ist jedes Glied nicht durch eine explizite Formel gegeben, sondern hängt direkt vom Vorgänger ab. Das macht die Grenzwertberechnung auf direktem Weg unmöglich. Stattdessen nutzen wir eine elegante Eigenschaft konvergenter Folgen: Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, muss dieser ein Fixpunkt der Rekursionsvorschrift sein.

Problemstellung#

Gegeben sei eine Folge durch den Startwert $c_1 = 1$ und die Rekursionsvorschrift: $c_{n+1} = \sqrt{2 + c_n}$ Bestimme den Grenzwert der Folge unter der Annahme, dass sie konvergiert.

Lösungsansatz#

Bei einer konvergenten rekursiven Folge nähern sich die Glieder ab einem bestimmten Punkt unendlich nah an den Grenzwert an. Das bedeutet, dass im Limes kein spürbarer Unterschied mehr zwischen dem aktuellen Folgenglied $c_n$ und dem nächsten Folgenglied $c_{n+1}$ besteht. Wir können also in der Rekursionsgleichung beide Terme durch den potenziellen Grenzwert $L$ ersetzen. Danach prüfen wir anhand der ersten Folgenglieder, welcher der berechneten Kandidaten Sinn ergibt.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir nehmen an, dass der Grenzwert $L = \lim\limits_{n \to \infty} c_n$ existiert. Wegen der Rechenregeln für Grenzwerte (und der Stetigkeit der Wurzelfunktion) können wir den Limes direkt auf die Gleichung anwenden: $L = \sqrt{2 + L}$

Um diese Gleichung zu lösen, quadrieren wir beide Seiten: $L^2 = 2 + L$

Wir formen dies zu einer quadratischen Gleichung um: $L^2 - L - 2 = 0$

Mit der Mitternachtsformel (oder durch Faktorisieren in $(L - 2)(L + 1) = 0$) erhalten wir zwei mögliche Kandidaten für den Grenzwert: $L_1 = 2$ $L_2 = -1$

Nun müssen wir entscheiden, welcher Wert der tatsächliche Grenzwert ist. Wir betrachten den Startwert und die Rekursionsvorschrift: $c_1 = 1$ $c_2 = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} \approx 1.732$

Die Wurzel liefert per Definition immer nicht-negative Ergebnisse. Da der Startwert positiv ist und wir stets die Wurzel aus einer positiven Zahl ziehen, sind alle $c_n > 0$. Ein negativer Grenzwert wie $-1$ ist somit ausgeschlossen. Der einzig verbleibende Kandidat ist $2$.

Fazit#

Die Analyse der Grenzwert-Gleichung liefert uns die möglichen Endzustände der Rekursion, und ein kurzer Blick auf das Vorzeichen der Folgenglieder verrät uns den eindeutigen Limes.

Weitere Übungen#

1. Gegeben sei $a_1 = 2$ und $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 6}$. Bestimme den Grenzwert unter der Annahme, dass die Folge konvergiert.

Tipp anzeigen

Setze $L$ für beide Seiten ein, quadriere die entstehende Gleichung und löse die quadratische Gleichung nach $L$ auf.

Lösung anzeigen

Wir setzen $L = \lim\limits_{n \to \infty} a_n$ und erhalten die Fixpunktgleichung: $$L = \sqrt{L + 6}$$

Quadrieren beider Seiten liefert: $L^2 = L + 6$ $L^2 - L - 6 = 0$ $(L - 3)(L + 2) = 0$

Die Kandidaten sind $L_1 = 3$ und $L_2 = -2$. Da die Wurzelfunktion nur nicht-negative Werte liefert und $a_1 = 2 > 0$ gilt, sind alle $a_n \geq 0$. Der negative Kandidat ist ausgeschlossen.

$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 3$

2. Gegeben sei $b_1 = 1$ und $b_{n+1} = \frac{b_n}{2} + \frac{1}{b_n}$. Bestimme den Grenzwert unter der Annahme, dass die Folge konvergiert.

Tipp anzeigen

Setze $L$ für $b_{n+1}$ und $b_n$ ein und multipliziere beide Seiten mit $L$, um den Bruch zu eliminieren.

Lösung anzeigen

Die Fixpunktgleichung lautet: $$L = \frac{L}{2} + \frac{1}{L}$$

Wir multiplizieren beide Seiten mit $L$ (da $L \neq 0$ für eine Folge mit positivem Startwert): $L^2 = \frac{L^2}{2} + 1$

Umformen ergibt: $\frac{L^2}{2} = 1$ $L^2 = 2$ $L = \pm\sqrt{2}$

Da $b_1 = 1 > 0$ und die Rekursionsvorschrift stets positive Werte liefert, ist der negative Kandidat ausgeschlossen.

$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \sqrt{2}$

3. Gegeben sei $c_1 = 4$ und $c_{n+1} = \frac{c_n + 5}{2}$. Bestimme den Grenzwert unter der Annahme, dass die Folge konvergiert.

Tipp anzeigen

Die Fixpunktgleichung ist hier linear, sodass du $L$ direkt durch einfaches Umformen auflösen kannst.

Lösung anzeigen

Die Fixpunktgleichung lautet: $$L = \frac{L + 5}{2}$$

Wir multiplizieren beide Seiten mit $2$: $2L = L + 5$ $L = 5$

Da die lineare Rekursionsvorschrift genau einen Fixpunkt hat, ist kein Vorzeichenargument nötig. Zur Kontrolle: $c_1 = 4$, $c_2 = 4.5$, $c_3 = 4.75$, $c_4 = 4.875$, die Folge steigt monoton gegen $5$.

$\lim\limits_{n \to \infty} c_n = 5$