Grenzwerte mit n-ter Wurzel

Wir schauen uns an, was passiert, wenn wir die n-te Wurzel aus Termen ziehen, während $n$ gegen unendlich geht. Intuitiv wirkt die n-te Wurzel wie ein starker Dämpfer, der selbst riesige Polynome schrumpfen lässt, aber bei extrem stark wachsenden Ausdrücken wie der Fakultät an seine Grenzen stösst.

Problemstellung#

Wir wollen den folgenden Grenzwert berechnen:

$\lim\limits_{n \to \infty} \left( \sqrt[n]{4^n + 3n^5 + 7} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \right)$

Lösungsansatz#

Um solche Ausdrücke in den Griff zu bekommen, zerlegen wir sie in ihre Bausteine und nutzen einige Standardgrenzwerte der Analysis. Der Trick liegt darin, zu erkennen, welche Teile unter der Wurzel das Wachstum dominieren und welche zu vernachlässigen sind.

Für unsere Aufgabe bedeutet das: Wir suchen unter der ersten Wurzel den am stärksten wachsenden Term, klammern ihn aus und ziehen ihn vor die Wurzel. Den verbleibenden Rest untersuchen wir dann auf sein Konvergenzverhalten, bevor wir ihn mit dem Faktor auf der rechten Seite multiplizieren.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir betrachten zuerst den linken Teil des Ausdrucks und suchen den dominierenden Term. Die Exponentialfunktion $4^n$ wächst deutlich schneller als das Polynom $3n^5$ oder die Konstante 7. Wir klammern also $4^n$ aus:

$\sqrt[n]{4^n + 3n^5 + 7} = \sqrt[n]{4^n \left(1 + \frac{3n^5}{4^n} + \frac{7}{4^n}\right)}$

Nun ziehen wir den ausgeklammerten Term aus der Wurzel heraus, indem wir die n-te Wurzel aus $4^n$ berechnen, was exakt 4 ergibt:

$4 \cdot \sqrt[n]{1 + \frac{3n^5}{4^n} + \frac{7}{4^n}}$

Wir analysieren den Ausdruck unter der verbleibenden Wurzel für $n \to \infty$. Da $4^n$ schneller wächst als jedes Polynom, konvergiert der Bruch mit $3n^5$ gegen 0. Auch der Bruch mit der Konstanten 7 im Zähler konvergiert gegen 0. Der gesamte Term unter der Wurzel konvergiert somit gegen 1. Nach unserem Satz strebt die n-te Wurzel einer Konstanten gegen 1, womit wir für den ersten Teil der Aufgabe einen klaren Grenzwert haben:

$\lim\limits_{n \to \infty} 4 \cdot \sqrt[n]{1 + 0 + 0} = 4 \cdot 1 = 4$

Jetzt widmen wir uns dem zweiten Teil der Aufgabe, dem Faktor mit der Fakultät im Nenner. Aus dem Satz wissen wir, dass $\sqrt[n]{n!}$ gegen unendlich strebt. Der Kehrwert eines Ausdrucks, der gegen unendlich strebt, konvergiert gegen 0:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0$

Wir setzen die beiden Teilergebnisse zusammen, um den finalen Grenzwert des gesamten Produkts zu berechnen:

$\lim\limits_{n \to \infty} \left( \sqrt[n]{4^n + 3n^5 + 7} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \right) = 4 \cdot 0 = 0$

Fazit#

Das Ausklammern des dominierenden Terms enthüllt das berechenbare Konvergenzverhalten unter der Wurzel, während rechts die Fakultät im Nenner das gesamte Produkt auf null zwingt.

Warum haben wir links und rechts getrennt analysiert? Weil wir zwar sehen können, dass rechts gegen null geht, aber

Exkurs: Warum klappt das hier, aber nicht beim Limes von $e$?

Ein aufmerksamer Beobachter könnte sich fragen: Wenn der Term unter der Wurzel gegen 1 strebt und die n-te Wurzel aus 1 wieder 1 ergibt, warum funktioniert diese schrittweise Logik hier, aber nicht beim Fundamentallimes $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$? Bei Letzterem strebt der Term in der Klammer auch gegen 1, aber das Endergebnis ist $e$ und nicht 1.

Der springende Punkt liegt im Exponenten. Die n-te Wurzel lässt sich als Exponent $1/n$ umschreiben. Wenn $n \to \infty$ geht, strebt $1/n$ gegen 0. Wir haben es in unserem Wurzel-Beispiel also asymptotisch mit dem Fall $1^0$ zu tun. Dieser Ausdruck ist mathematisch absolut eindeutig und ergibt 1.

Beim Limes von $e$ haben wir hingegen eine Basis, die gegen 1 strebt, und einen Exponenten, der gegen unendlich wächst. Das führt zum Fall $1^\infty$. Dies ist ein sogenannter unbestimmter Ausdruck (genau wie $0/0$ oder $\infty/\infty$). Bei unbestimmten Ausdrücken dürfen Basis und Exponent niemals getrennt voneinander betrachtet werden, da das Resultat je nach genauer Wachstumsgeschwindigkeit der Terme völlig unterschiedlich ausfallen kann.

Eine Argumentation, dass $1^n = 1$ für alle $n$ und somit auch der Grenzwert 1 sein müsse, ist hier falsch, da die Basis niemals exakt 1 ist, sondern sich ihr nur annähert.

Weitere Übungen#

1. Berechne den folgenden Grenzwert: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n + 3^n}$

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Klammere den Term mit der grössten Basis aus, um den Einschnürungssatz anwenden zu können.

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Wir klammern den dominierenden Term $3^n$ aus: $$\sqrt[n]{3^n \left( \left(\frac{2}{3}\right)^n + 1 \right)} = 3 \cdot \sqrt[n]{\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1}$$ Da die Basis des Bruchs kleiner als 1 ist, konvergiert die geometrische Folge $(2/3)^n$ gegen 0. Der Ausdruck unter der Wurzel strebt somit gegen 1. Die n-te Wurzel aus 1 ist 1. Alternativ lässt sich dies direkt mit dem Einschnürungssatz zeigen: $$3 = \sqrt[n]{3^n} \le \sqrt[n]{2^n + 3^n} \le \sqrt[n]{3^n + 3^n} = \sqrt[n]{2 \cdot 3^n} = 3 \cdot \sqrt[n]{2}$$ Da $\sqrt[n]{2}$ gegen 1 strebt, konvergieren sowohl die untere als auch die obere Schranke gegen 3. Das Endergebnis ist somit 3.

2. Berechne den folgenden Grenzwert: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n^n + n!}}{n}$

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Bringe das $n$ im Nenner als $n^n$ unter die gemeinsame n-te Wurzel und betrachte das Verhalten der resultierenden Brüche.

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Wir formen den Bruch um, indem wir das $n$ im Nenner unter die Wurzel bringen: $$\frac{\sqrt[n]{n^n + n!}}{n} = \frac{\sqrt[n]{n^n + n!}}{\sqrt[n]{n^n}} = \sqrt[n]{\frac{n^n + n!}{n^n}} = \sqrt[n]{1 + \frac{n!}{n^n}}$$ Aus der Vorlesung wissen wir, dass $n^n$ wesentlich schneller wächst als die Fakultät $n!$. Der Bruch $n!/n^n$ konvergiert demnach gegen 0. Der Term unter der Wurzel konvergiert gegen $1 + 0 = 1$. Die n-te Wurzel aus 1 ergibt 1, womit der Grenzwert exakt 1 beträgt.

3. Berechne den folgenden Grenzwert: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^2 \cdot 4^n + 5^n}$

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Auch wenn ein Polynom vor dem Faktor $4^n$ steht, wird das Gesamtwachstum durch die höchste Basis bestimmt.

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Wir klammern den am stärksten wachsenden Term $5^n$ aus: $$\sqrt[n]{5^n \left( n^2 \frac{4^n}{5^n} + 1 \right)} = 5 \cdot \sqrt[n]{n^2 \left(\frac{4}{5}\right)^n + 1}$$ Die geometrische Folge $(4/5)^n$ konvergiert exponentiell gegen 0 und dominiert das polynomielle Wachstum von $n^2$. Das Produkt aus beiden konvergiert gegen 0. Der Ausdruck unter der Wurzel strebt damit gegen $0 + 1 = 1$. Da $\sqrt[n]{1}$ gegen 1 strebt, erhalten wir als Endergebnis $5 \cdot 1 = 5$.