Das Sandwich-Lemma

Manchmal begegnen wir Folgen, die sich weigern, ihre Grenzwerte durch einfaches Kürzen preiszugeben. In solchen Fällen hilft uns ein Prinzip, das abstrakte Ausdrücke förmlich einklemmt. Bevor wir rechnen, schauen wir uns das formale Werkzeug dafür an.

Problemstellung#

Finde den Grenzwert der folgenden Folge für $n \to \infty$: $c_n = \frac{\sin(n) + \arctan(n)}{n}$

Lösungsansatz#

Ein erster Reflex bei Brüchen mit unendlichem Nenner ist oft die Regel von de L'Hôpital. Wir würden die Folge gedanklich als Funktion behandeln und Zähler sowie Nenner ableiten. Der Nenner wird zu eins, aber die Ableitung des Zählers ist $\cos(x) + \frac{1}{1+x^2}$. Für $x \to \infty$ konvergiert dieser Ausdruck nicht, da die Kosinusfunktion unendlich weiter oszilliert. Die Regel von de L'Hôpital scheitert hier also komplett.

Wir müssen den Bruch stattdessen von oben und von unten beschränken. Die Idee ist, feste numerische Grenzen für die trigonometrischen Funktionen im Zähler zu finden. Wenn wir den gesamten Bruch zwischen zwei Hilfsfolgen einklemmen können, die beide gegen null konvergieren, zwingt das Sandwich-Theorem unsere Ursprungsfolge auf exakt denselben Grenzwert.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir betrachten zuerst die einzelnen Bausteine des Zählers. Die Sinusfunktion schlägt unabhängig vom Argument nie über eins oder unter minus eins aus. Es gilt für alle $n \in \mathbb{N}$: $-1 \leq \sin(n) \leq 1$

Die Arkustangensfunktion ist ebenfalls strikt beschränkt. Für positive Eingabewerte nähert sie sich asymptotisch dem Wert $\frac{\pi}{2}$ an. Wir können sie sicher nach unten und oben begrenzen: $-\frac{\pi}{2} < \arctan(n) < \frac{\pi}{2}$

Wir addieren nun diese beiden Ungleichungen, um den gesamten Zähler abzuschätzen. Die kleinste mögliche Summe entsteht, wenn beide Terme ihr Minimum annehmen, die grösste bei ihren Maxima: $-1 - \frac{\pi}{2} < \sin(n) + \arctan(n) < 1 + \frac{\pi}{2}$

Um unsere Folge $c_n$ zu rekonstruieren, teilen wir die gesamte Ungleichungskette durch $n$. Da $n \geq 1$ positiv ist, drehen sich die Ungleichheitszeichen bei der Division nicht um: $\frac{-1 - \frac{\pi}{2}}{n} < \frac{\sin(n) + \arctan(n)}{n} < \frac{1 + \frac{\pi}{2}}{n}$

Wir definieren nun unsere beiden Hilfsfolgen für das Sandwich-Theorem. Die untere Schranke ist $a_n = \frac{-1 - \frac{\pi}{2}}{n}$ und die obere Schranke ist $b_n = \frac{1 + \frac{\pi}{2}}{n}$.

Da der Zähler in beiden Fällen eine feste Konstante ist und der Nenner gegen unendlich wächst, berechnen wir die Grenzwerte der Hilfsfolgen direkt: $\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{-1 - \frac{\pi}{2}}{n} \right) = 0$

$\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1 + \frac{\pi}{2}}{n} \right) = 0$

Da die Folge $c_n$ für alle $n \geq 1$ streng zwischen $a_n$ und $b_n$ liegt und beide Schranken gegen null konvergieren, greift das Sandwich-Theorem. Die Rechnung zeigt zwingend: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin(n) + \arctan(n)}{n} = 0$

Fazit#

Das Sandwich-Lemma erlaubt es uns, einen Grenzwert rigoros zu bestimmen, indem wir das oszillierende Verhalten der Terme im Zähler durch statische Konstanten einmauern und den Nenner die Arbeit machen lassen.

Weitere Übungen#

1. Bestimme den Grenzwert der Folge $a_n = \frac{\cos(n^2)}{n}$.

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Nutze die Beschränktheit des Kosinus, um die Folge zwischen zwei Hilfsfolgen einzuklemmen, die beide gegen null konvergieren.

Lösung anzeigen

Die Kosinusfunktion ist für alle reellen Zahlen beschränkt: $$-1 \leq \cos(n^2) \leq 1$$

Da $n \geq 1$ positiv ist, dürfen wir alle Seiten durch $n$ dividieren ohne das Ungleichheitszeichen umzudrehen: $-\frac{1}{n} \leq \frac{\cos(n^2)}{n} \leq \frac{1}{n}$

Die Hilfsfolgen $-\frac{1}{n}$ und $\frac{1}{n}$ konvergieren beide gegen $0$. Nach dem Sandwich-Theorem folgt: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\cos(n^2)}{n} = 0$

2. Bestimme den Grenzwert der Folge $b_n = \frac{(-1)^n \cdot n}{n^2 + 1}$.

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Schätze den Betrag der Folge nach oben ab und zeige, dass diese obere Schranke gegen null konvergiert.

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Wegen $|(-1)^n| = 1$ gilt für alle $n \geq 1$: $$\left|\frac{(-1)^n \cdot n}{n^2 + 1}\right| = \frac{n}{n^2 + 1} \leq \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$$

Damit ergibt sich die Einklemm-Ungleichung: $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n \cdot n}{n^2 + 1} \leq \frac{1}{n}$

Da beide Schranken für $n \to \infty$ gegen $0$ konvergieren, liefert das Sandwich-Theorem: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(-1)^n \cdot n}{n^2 + 1} = 0$

3. Bestimme den Grenzwert der Folge $c_n = \frac{n \sin(n)}{n^2 + 1}$.

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Trenne zunächst die Beschränktheit des Sinus vom Wachstumsverhalten des restlichen Ausdrucks und schätze dann den Betrag der Folge nach oben ab.

Lösung anzeigen

Wegen $|\sin(n)| \leq 1$ gilt für alle $n \geq 1$: $$\left|\frac{n \sin(n)}{n^2 + 1}\right| = \frac{n \cdot |\sin(n)|}{n^2 + 1} \leq \frac{n \cdot 1}{n^2 + 1} \leq \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$$

Daraus folgt die Ungleichungskette: $-\frac{1}{n} \leq \frac{n \sin(n)}{n^2 + 1} \leq \frac{1}{n}$

Beide Schranken konvergieren gegen $0$. Das Sandwich-Theorem liefert: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n \sin(n)}{n^2 + 1} = 0$