Detaillierte Hinweise#

Falls du irgendwo stecken geblieben bist, helfen dir diese spezifischeren Tipps weiter.

Aufgabe 1#

Nach der Konvergenzdefinition liegen bis auf endlich viele Indizes alle Folgenglieder in einem Abstand von maximal 1 um den Grenzwert L. Das bedeutet, ihr Betrag ist kleiner als der Betrag von L plus 1. Für die endlich vielen Ausreisser am Anfang der Folge kannst du einfach das betragsmässige Maximum bestimmen. Die endgültige Schranke ist dann das Maximum aus beiden Werten.

Aufgabe 2#

Für a grösser als 1 kannst du den Ansatz aus dem Hinweis verwenden, was dir eine Ungleichung liefert, die du nach dem Restterm auflösen kannst. Der Sandwichsatz zeigt dir dann, dass dieser Restterm gegen 0 geht. Für a kleiner als 1 formst du das Problem um, indem du den Kehrwert betrachtest.

Aufgabe 3#

• (a) Kürze mit n hoch 5. Danach bleiben konstante Terme und Terme mit negativen Potenzen von n stehen, die im Limes gegen null gehen.
• (b) & (d) Erweitere die Differenz mit ihrer Summe, also im ersten Fall mit der Wurzel plus n. Dadurch verschwindet die Wurzel im Zähler und du kannst wie in (a) die höchste Potenz im Nenner ausklammern.
• (c) Der dominierende Term ist 3 hoch n. Wenn du diesen im Zähler und Nenner ausklammerst und kürzt, entstehen Brüche mit der Basis 2/3, die für n gegen unendlich verschwinden.
• (e) Du kannst die Summe nach unten abschätzen, indem du nur den grössten Summanden betrachtest, und nach oben, indem du jeden Summanden durch den grössten ersetzt. Die n-te Wurzel einer Konstanten konvergiert gegen 1.

Aufgabe 4#

• (a) Schätze nach unten durch die n-te Wurzel aus n und nach oben durch die n-te Wurzel aus 8n ab.
• (b) Wenn du Zähler und Nenner durch 13 hoch n teilst, erhältst du einen Faktor minus 19/13 hoch n. Dieser Faktor wächst betragsmässig über alle Grenzen und wechselt das Vorzeichen.
• (c) Klammere minus 2024 hoch n aus. Achte darauf, dass im Nenner beim ersten Summanden der Exponent n plus 1 steht.
• (d) Du kannst den Term umschreiben als Ausdruck hoch n hoch 3 und das Ganze dann hoch 1 durch n. Der innere Ausdruck strebt gegen die eulersche Zahl.

Aufgabe 5#

• (a) Im Induktionsschritt von n und n plus 1 auf n plus 2 musst du zeigen, dass 1 plus Phi genau Phi im Quadrat entspricht. Rechne dies direkt mit der Definition von Phi nach.
• (b) Da Phi grösser als 1 ist, wächst dessen Potenz ins Unendliche. Psi ist betragsmässig kleiner als 1, daher geht dessen Potenz gegen 0.
• (c) Wenn du den Quotienten bildest, ziehe den Bruch auseinander. Der Abstand zur goldenen Zahl lässt sich durch eine Ungleichung nach oben abschätzen, bei der im Nenner der Term Phi durch Psi hoch m steht.
• (d) Die Ungleichung aus (c) lautet im Kern, dass Wurzel 5 geteilt durch Epsilon plus 1 kleiner ist als der Betrag von Phi durch Psi hoch m. Wende den natürlichen Logarithmus an, um m zu isolieren.

Aufgabe 6#

Wenn die Teilfolge nicht gegen L konvergiert, gibt es ein Epsilon, für das unendlich viele Glieder der Teilfolge einen Abstand grösser oder gleich Epsilon von L haben. Da die Teilfolge aber nur Elemente der Ursprungsfolge enthält, bedeutet das, dass auch unendlich viele Glieder der Ursprungsfolge diesen Mindestabstand haben. Das widerspricht der Annahme, dass die Ursprungsfolge konvergiert.

Aufgabe 7#

Bei Aussage 2a liefert die Folge a gleich minus 1 hoch n und b gleich 1 hoch n ein gutes Gegenbeispiel. Die Summe ist immer null und konvergiert somit, aber die Einzelfolgen konvergieren nicht. Ähnlich lässt sich bei 3c argumentieren: Betrachte die harmonische Reihe als Folge. Die Differenz aufeinanderfolgender Glieder geht gegen null, aber die Reihe selbst divergiert.