Tipps für die Übungen dieser Woche#

Hier sind ein paar kurze Hinweise, um dir den Einstieg in die Serie 3 zu erleichtern. Für diese Woche empfiehlt sich als Bearbeitungsreihenfolge zunächst Aufgabe 7, dann Aufgabe 3 und schliesslich Aufgabe 4. Versuch zuerst, mit diesen Andeutungen weitestgehend selbstständig zu arbeiten.

Aufgabe 1: Folgenkonvergenz#

Um zu zeigen, dass eine konvergente Folge beschränkt ist, kannst du die Definition der Konvergenz für ein festes Epsilon verwenden, beispielsweise für den Wert 1. Überlege dir, was das für fast alle Folgenglieder bedeutet und wie du mit den restlichen umgehst.

Aufgabe 2: Grenzwert I#

Es hilft hier, die Untersuchung in drei Fälle zu unterteilen: Ist der Wert von a grösser als 1, genau 1 oder kleiner als 1? Für den Fall, dass a grösser als 1 ist, kannst du die n-te Wurzel aus a als 1 plus einen kleinen Rest schreiben und den gegebenen Hinweis nutzen.

Aufgabe 3: Grenzwert II#

• (a) Bei rationalen Funktionen dominiert für grosse n immer die höchste Potenz. Klammere diese Zähler und Nenner aus.
• (b) & (d) Wenn die Differenz von zwei Wurzeln auftritt, hilft es oft, den Bruch geschickt mit der dritten binomischen Formel zu erweitern.
• (c) Finde die Basis mit dem betragsmässig grössten Wert und klammere sie aus.
• (e) Hier drängt sich der Sandwichsatz auf. Finde eine geeignete untere und obere Schranke für die Summe unter der Wurzel.

Aufgabe 4: Grenzwert#

• (a) Nutze auch hier den Sandwichsatz, indem du den Ausdruck unter der n-ten Wurzel nach unten und oben durch Ausdrücke abschätzt, deren Grenzwert du bereits kennst.
• (b) Betrachte das Verhalten des Bruchs, wenn du durch den dominierenden Term im Nenner teilst. Achte besonders auf das Vorzeichen.
• (c) Klammere den Term mit der grössten Basis aus und kürze ihn weg.
• (d) Forme den Ausdruck so um, dass du den bekannten Grenzwert für die eulersche Zahl nutzen kannst.

Aufgabe 5: Fibonacci#

• (a) Da die Rekursionsformel auf die zwei vorherigen Glieder zugreift, benötigst du eine vollständige Induktion, die bei n gleich 1 und n gleich 2 verankert ist.
• (b) Untersuche, ob die Basis der jeweiligen Exponentialterme betragsmässig grösser oder kleiner als 1 ist.
• (c) Setze die in (a) bewiesene explizite Formel in den Quotienten ein und kürze die Brüche.
• (d) Setze Epsilon gleich 1/100 in die aus (c) gewonnene Ungleichung ein und löse diese mit Hilfe des Logarithmus nach m auf.

Aufgabe 6: Subsequenzkriterium#

Ein Beweis durch Widerspruch führt hier schnell zum Ziel. Nimm an, dass eine Teilfolge nicht gegen den Grenzwert L konvergiert. Überlege dir, was das direkt für den Abstand unendlich vieler Glieder zu L bedeutet.

Aufgabe 7: Multiple-Choice-Aufgaben#

Konstruiere für Aussagen, die du für falsch hältst, konkrete Gegenbeispiele. Folgen wie alternierende Sequenzen oder einfache Nullfolgen sind dafür meist gut geeignet.