Wie man Nullstellen quadratischer Gleichungen durch reines Anschauen der Koeffizienten findet.
Oft stehen wir vor einer quadratischen Gleichung und möchten die Nullstellen finden, ohne gleich die lange Lösungsformel aufzuschreiben. Der Satz von Vieta bietet uns hier eine direkte Abkürzung. Wir schauen uns an, wie die Zahlen vor dem direkt mit den eigentlichen Lösungen zusammenhängen.
Warum funktioniert der Satz von Vieta überhaupt? Wenn eine quadratische Gleichung die Form hat und die Nullstellen und besitzt, können wir sie immer als Produkt von Linearfaktoren schreiben: . Multiplizieren wir das aus, erhalten wir , was wir wiederum zu zusammenfassen.
Ein Vergleich der Koeffizienten liefert uns sofort die gesuchte Regel.
Besonders auf die Vorzeichen musst du hier sehr genau achten. Ein negatives bedeutet, dass die Summe der Nullstellen positiv wird, da wir das Vorzeichen umkehren müssen. Das verrät uns sofort, ob die Nullstellen das gleiche Vorzeichen haben (positives ) oder unterschiedliche Vorzeichen besitzen (negatives ).
Beispiel 1:
Wir suchen zwei Zahlen und , für die gilt:
Hier fällt der scheinbare Widerspruch auf, den viele am Anfang übersehen. Obwohl in der Gleichung ein Minus vor der 8 steht, ist die Summe der Nullstellen positiv. Das liegt an der Regel , also rechnen wir . Da das Produkt 15 positiv ist, müssen beide Nullstellen das gleiche Vorzeichen haben. Da die Summe 8 positiv ist, müssen zwingend beide Nullstellen positiv sein. Wir gehen im Kopf die Teiler von 15 durch: 1 und 15 (Summe 16) sowie 3 und 5 (Summe 8). Die Lösung lautet somit und .
Beispiel 2:
Hier lauten unsere Bedingungen:
Das Produkt ist negativ, also hat eine Nullstelle ein positives und die andere ein negatives Vorzeichen. Die Summe ist positiv, also muss die positive Zahl betragsmässig grösser sein als die negative. Die Faktoren von 6 sind 1 und 6 (Differenz 5) oder 2 und 3 (Differenz 1). Damit die Summe 1 ergibt, wählen wir und .
Beispiel 3:
Wir suchen:
Das Produkt ist positiv, die Vorzeichen sind also gleich. Die Summe ist diesmal negativ, was nur möglich ist, wenn beide Nullstellen negativ sind. Die Teiler von 6, deren Summe betragsmässig 5 ergibt, sind 2 und 3. Da beide ein Minus benötigen, lauten die Lösungen und .
Der Satz von Vieta verknüpft die Summe und das Produkt der Nullstellen direkt mit den Koeffizienten der Polynomgleichung, wodurch wir durch geschicktes Raten der Teiler von sofort die Lösungen ablesen können.
Bestimme die Nullstellen der folgenden quadratischen Gleichungen mit dem Satz von Vieta.
Tipp anzeigenDas Produkt ist positiv und die Summe ist 7.Lösung anzeigenWir suchen zwei Zahlen mit Produkt 10 und Summe 7. Die Teiler von 10 sind 1 und 10 sowie 2 und 5. Die Summe von 2 und 5 ergibt 7. Die Lösungen sind somit und .
Tipp anzeigenDas Produkt ist negativ, also gibt es unterschiedliche Vorzeichen.Lösung anzeigenWir suchen zwei Zahlen mit Produkt -8 und Summe -2. Die Zahlen 4 und 2 haben eine Differenz von 2. Damit die Summe negativ wird, muss die betragsmässig grössere Zahl negativ sein. Die Lösungen sind und .
Tipp anzeigenDas Produkt ist positiv, aber die Summe ist negativ.Lösung anzeigenWir suchen zwei Zahlen mit Produkt 12 und Summe -7. Da das Produkt positiv und die Summe negativ ist, sind beide Nullstellen negativ. Die Teiler 3 und 4 ergeben zusammen 7. Die Lösungen sind und .
Tipp anzeigenBeide Nullstellen müssen positiv sein.Lösung anzeigenWir suchen zwei Zahlen mit Produkt 24 und Summe 10. Wir prüfen die Teilerpaare von 24: 1 und 24, 2 und 12, 3 und 8, 4 und 6. Die Summe von 4 und 6 ergibt genau 10. Die Lösungen sind und .
Tipp anzeigenDie positive Nullstelle muss betragsmässig grösser sein.Lösung anzeigenWir suchen zwei Zahlen mit Produkt -28 und Summe 3. Die Vorzeichen sind unterschiedlich. Die Teiler 4 und 7 haben eine Differenz von 3. Da die Summe positiv sein muss, ist die grössere Zahl positiv. Die Lösungen sind und .