Grenzwerte mit der Eulerschen Zahl e

Oft begegnen dir in der Analysis Folgen, deren Basis gegen den Wert Eins und deren Exponent gegen unendlich strebt. Solche Ausdrücke konvergieren meistens nicht einfach gegen Eins, sondern verstecken die Eulersche Zahl in sich. In diesem Beitrag schauen wir uns an, wie du diese Grenzwerte systematisch berechnest.

Problemstellung#

Berechne den folgenden Grenzwert der Folge :

Lösungsansatz#

Um diese Aufgabe zu knacken, greifen wir auf einen der bekanntesten Grenzwerte der Analysis zurück. Der sogenannte Fundamentallimes beschreibt das Konvergenzverhalten, wenn man fortlaufend immer kleinere Anteile aufaddiert und potenziert.

Das Ziel bei solchen Aufgaben ist immer dasselbe. Du formst den Bruch innerhalb der Klammer algebraisch so um, dass er die Struktur Eins plus einen Bruchstrich annimmt. Sobald der Ausdruck die exakte Form des Fundamentallimes hat, kannst du den Grenzwert direkt ablesen.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir betrachten den Term innerhalb der Klammer und wollen ihn in die Form aus dem Satz bringen. Es gibt hier einen besonders eleganten Weg über den Kehrwert.

Wir wissen aus den Potenzgesetzen, dass wir den Bruch umdrehen können, wenn wir dafür ein Minuszeichen im Exponenten ergänzen:

Jetzt können wir den neuen Zähler gliedweise durch den Nenner teilen:

Um den Fundamentallimes sauber anwenden zu können, trennen wir das Minuszeichen im Exponenten vom ab. Das machen wir wieder mit den Potenzgesetzen durch eine zusätzliche Klammer:

Nun können wir den Grenzwert für den Fall bilden. Der innere Term konvergiert nach Satz 1.1 exakt gegen die Eulersche Zahl . Das äussere Hoch minus eins bleibt einfach stehen, da die Funktion mit negativem Exponenten stetig ist:

Das Resultat lässt sich abschliessend auch als Bruch schreiben:

Fazit#

Der Grenzwert der Folge beträgt genau . Dies demonstriert, wie ein scheinbar unbestimmter Ausdruck durch eine geschickte Kehrwertbildung auf einen bekannten Standardgrenzwert zurückgeführt werden kann.

Weitere Übungen#

Hier sind drei weitere Folgen, an denen du die algebraische Umformung für den Fundamentallimes trainieren kannst.

1. Berechne den Grenzwert von .

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Vergleiche den Klammerterm direkt mit der Struktur aus Satz 1.1 und identifiziere den Wert von .

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Der Ausdruck passt bereits exakt zur Form des Fundamentallimes mit :

Nach Satz 1.1 konvergiert dieser Ausdruck direkt:

2. Berechne den Grenzwert von .

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Schreibe den Zähler so um, dass er den Nenner als Summanden enthält, und spalte den Bruch anschliessend auf.

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Wir schreiben und spalten den Bruch auf:

Um den Exponenten an die Form des Fundamentallimes anzupassen, substituieren wir (also ). Für gilt auch :

Im Grenzwert konvergiert der erste Faktor nach Satz 1.1 gegen , der zweite gegen :

3. Berechne den Grenzwert von .

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Bringe den Exponenten mithilfe der Potenzgesetze in die Form mal , sodass der innere Ausdruck den Fundamentallimes ergibt.

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Wir nutzen die Potenzgesetze, um den Exponenten umzuschreiben:

Der innere Ausdruck hat nun die exakte Form des Fundamentallimes mit . Für gilt nach Satz 1.1:

Da die Funktion stetig ist, können wir den Grenzwert nach innen ziehen: