Wurzelkriterium

In diesem Beitrag wenden wir das Wurzelkriterium auf ein konkretes Problem an. Manchmal stösst du auf Reihen, die so stark mit Potenzen verschachtelt sind, dass das Quotientenkriterium komplett versagt. Genau dann greifen wir zur n-ten Wurzel, um die Ausdrücke zu entschärfen.

Problemstellung#

Wir untersuchen die folgende Reihe auf Konvergenz:

Lösungsansatz#

Wir sehen sofort, dass der gesamte Term mit einer von n abhängigen Potenz versehen ist. Das ist der klassische Indikator dafür, dass das Wurzelkriterium der direkteste Weg zur Lösung ist. Wir rufen uns die präzise Aussage des Kriteriums in Erinnerung:

Unser Ziel ist es also, den Term in den Betrag zu setzen, die n-te Wurzel zu ziehen und anschliessend den Grenzwert für zu berechnen. Da der Ausdruck im Inneren immer positiv ist, können wir den Betrag direkt weglassen.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir definieren unser Folgenglied:

Wir wenden die n-te Wurzel auf den Ausdruck an. Durch die Potenzgesetze vereinfacht sich der Exponent von zu :

Dieser Ausdruck sieht fast aus wie die Definition der Eulerschen Zahl, ist aber noch nicht ganz in der richtigen Form. Wir formen den Bruch um, indem wir den Kehrwert bilden und dafür den Exponenten negativ machen oder den Bruch algebraisch aufspalten:

Nun können wir den Grenzwert des gesamten Ausdrucks für bilden. Wir wissen, dass der Nenner gegen die Eulersche Zahl konvergiert:

Wir vergleichen unseren ermittelten Grenzwert mit 1. Da die Eulersche Zahl ungefähr 2.718 ist, erhalten wir:

Fazit#

Das Wurzelkriterium liefert hier einen eleganten Beweis für die absolute Konvergenz der Reihe. Die scheinbar unhandliche Potenz wird durch das Ziehen der Wurzel genau auf das bekannte Mass reduziert, welches uns durch den Grenzwert direkt auf die Eulersche Zahl führt.

Weitere Übungen#

1. Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

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   Ziehe die n-te Wurzel über das gesamte Produkt und berechne danach den Grenzwert mithilfe der Eulerschen Zahl.
   Lösung anzeigen

   Wir definieren .

   Wir berechnen die n-te Wurzel des Betrags:

   Wir formen den Ausdruck in der Klammer um:

   Wir bilden den Limes für :

   Da die Eulersche Zahl grösser als 2 ist, ergibt der Bruch einen Wert kleiner als 1. Wir haben also . Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe somit absolut.

2. Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

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   Hier existiert kein klassischer Limes der n-ten Wurzel, du musst zwingend den Limes superior betrachten.
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   Wir setzen .

   Wir ziehen die n-te Wurzel des Betrags:

   Diese Folge besitzt keinen eindeutigen Grenzwert, da sie zwischen zwei Werten springt. Für gerade erhalten wir , für ungerade erhalten wir .

   Der Limes superior sucht den grössten Häufungspunkt dieser Folge:

   Da gilt, konvergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium absolut.