Leibniz-Kriterium

In diesem Beitrag schauen wir uns an, wie man die Konvergenz von alternierenden Reihen nachweist. Wir prüfen, ob sich die ständigen Vorzeichenwechsel so weit ausgleichen, dass am Ende ein fester Wert herauskommt.

Problemstellung#

Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n+1}$

Lösungsansatz#

Das Leibniz-Kriterium liefert uns ein Werkzeug für genau solche alternierenden Reihen.

Wir müssen für den nicht-alternierenden Teil der Reihe, also für $a_n = \frac{\sqrt{n}}{n+1}$, drei Bedingungen prüfen: Positivität, die Nullfolgeneigenschaft und monotones Fallen. Die Monotonie ist hierbei meist der kniffligste Teil. Oft ist es mechanisch einfacher, die Folge als reelle Funktion $f(x)$ aufzufassen und deren Ableitung auf negative Vorzeichen zu prüfen, anstatt mit der Ungleichung $a_{n+1} \le a_n$ zu arbeiten.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir definieren den nicht-alternierenden Anteil der Reihe als $a_n = \frac{\sqrt{n}}{n+1}$.

Schritt 1: Positivität Für alle $n \ge 1$ sind sowohl $\sqrt{n}$ als auch $n+1$ echt positiv. Daraus folgt direkt, dass $a_n \ge 0$ für alle $n \ge 1$ gilt.

Schritt 2: Nullfolge Wir betrachten den Grenzwert für $n$ gegen unendlich. Wir klammern die höchste Potenz aus, beziehungsweise dividieren Zähler und Nenner durch $\sqrt{n}$:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{n+1} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}}} = 0$

Da der Nenner gegen unendlich strebt, geht der Gesamtausdruck gegen null. Die Folge ist somit eine Nullfolge.

Schritt 3: Monotonie Wir betrachten die zugehörige reelle Funktion $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$ für $x \ge 1$. Mit der Quotientenregel berechnen wir die Ableitung:

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{\frac{x+1 - 2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$

Für alle $x \ge 1$ ist der Nenner $2\sqrt{x}(x+1)^2$ stets positiv. Der Zähler $1-x$ ist für $x \ge 1$ kleiner oder gleich null. Daraus folgt $f'(x) \le 0$ für alle $x \ge 1$. Da die Funktion monoton fällt, fällt auch die zugehörige Folge $a_n$ monoton.

Da alle drei Bedingungen (Positivität, Nullfolge, Monotonie) erfüllt sind, konvergiert die gegebene Reihe nach dem Leibniz-Kriterium.

Fazit#

Der Umweg über die Ableitung einer stetigen Funktion bewahrt uns bei echten Brüchen mit Wurzeln oft vor aufwendigen algebraischen Abschätzungen bei der Monotonieprüfung.

Weitere Übungen#

Hier sind zwei weitere Reihen, an denen du das Leibniz-Kriterium trainieren kannst.

Übung 1#

Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz: $\sum\limits_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \ln(n)}$

Tipp anzeigen

Die Nullfolgeneigenschaft ist hier direkt sichtbar, für die Monotonie reicht eine reine Betrachtung der Wachstumsfaktoren im Nenner ohne Ableitung.

Lösung anzeigen

Wir setzen den nicht-alternierenden Teil als $a_n = \frac{1}{n \ln(n)}$.

Bedingung 1 (Positivität): Für $n \ge 2$ ist $n > 0$ und der natürliche Logarithmus $\ln(n) > 0$. Somit ist der Bruch positiv, also $a_n > 0$.

Bedingung 2 (Nullfolge): Da $n$ und $\ln(n)$ für $n$ gegen unendlich beide unbeschränkt wachsen, geht ihr Produkt im Nenner gegen unendlich. Es gilt: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n \ln(n)} = 0$

Bedingung 3 (Monotonie): Die Funktionen $x$ und $\ln(x)$ sind für $x \ge 2$ beide positiv und streng monoton wachsend. Ihr Produkt $x \ln(x)$ wächst daher ebenfalls streng monoton. Weil der Nenner streng monoton wächst und der Zähler konstant bleibt, fällt der gesamte Bruch $a_n$ streng monoton.

Da alle drei Voraussetzungen erfüllt sind, konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium.

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Übung 2#

Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz: $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \left( \sqrt{n^2+1} - n \right)$

Tipp anzeigen

Erweitere den Ausdruck in der Klammer mit der dritten binomischen Formel, um einen Bruchterm zu erzeugen, den du leichter auf Monotonie prüfen kannst.

Lösung anzeigen

Wir definieren den nicht-alternierenden Teil als $a_n = \sqrt{n^2+1} - n$. Um das Verhalten zu analysieren, erweitern wir den Ausdruck:

$a_n = \frac{(\sqrt{n^2+1} - n)(\sqrt{n^2+1} + n)}{\sqrt{n^2+1} + n} = \frac{n^2+1 - n^2}{\sqrt{n^2+1} + n} = \frac{1}{\sqrt{n^2+1} + n}$

Bedingung 1 (Positivität): Der umgeformte Nenner ist eine Summe strikt positiver Terme für $n \ge 1$, der Zähler ist $1$. Es gilt also $a_n > 0$.

Bedingung 2 (Nullfolge): Wenn $n$ gegen unendlich geht, wächst der Nenner $\sqrt{n^2+1} + n$ unbeschränkt in Richtung unendlich. Folglich gilt: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+1} + n} = 0$

Bedingung 3 (Monotonie): Der Term $\sqrt{n^2+1}$ wächst streng monoton mit steigendem $n$, ebenso der Term $n$. Damit wächst der gesamte Nenner streng monoton. Ein Bruch mit konstantem positivem Zähler und streng monoton wachsendem positiven Nenner fällt streng monoton. $a_n$ ist also monoton fallend.

Auch hier sind alle Kriterien des Leibniz-Kriteriums erfüllt, die Reihe konvergiert.