Quotientenkriterium

Oft reicht es nicht aus, einfach nur die Glieder einer Reihe einzeln anzuschauen. Wir müssen analysieren, wie schnell die Glieder im Vergleich zueinander schrumpfen oder wachsen, um über die Konvergenz der gesamten Summe zu entscheiden.

Problemstellung#

Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n n!}{n^n}$

Lösungsansatz#

Das Quotientenkriterium fragt im Kern, ob sich unsere Reihe auf lange Sicht wie eine konvergente geometrische Reihe verhält. Wir messen das relative Wachstum von einem Schritt zum nächsten. Wenn der Schrittfaktor irgendwann dauerhaft strikt kleiner als 1 bleibt, schrumpfen die Glieder schnell genug und die Reihe konvergiert. Wenn der Faktor strikt grösser als 1 bleibt, wachsen die Glieder und die Reihe divergiert.

Für unser Beispiel berechnen wir den Quotienten aufeinanderfolgender Glieder und bestimmen dessen Grenzwert. Dabei müssen wir beim Kürzen der Fakultäten und Potenzen sehr sorgfältig vorgehen. Wir werden sehen, dass am Ende ein Grenzwert auftaucht, der mit der Euler'schen Zahl verknüpft ist.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir setzen $a_n = \frac{3^n n!}{n^n}$ und berechnen den Betrag des Quotienten. Da alle Terme für natürliche Zahlen positiv sind, können wir die Betragsstriche direkt weglassen.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n n!}$

Jetzt ordnen wir die Terme so um, dass wir gleichartige Ausdrücke besser miteinander vergleichen können.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$

Wir vereinfachen die Brüche nun schrittweise. Der Bruch der Dreierpotenzen ergibt schlicht den Faktor 3. Bei den Fakultäten bleibt nach dem Kürzen genau der Term $n+1$ stehen.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$

Der isolierte Faktor $n+1$ im Zähler lässt sich nun mit einem entsprechenden Faktor aus der Basis des Nenners im letzten Bruch wegkürzen.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n}$

Wir fassen die Potenzen, die beide den gleichen Exponenten $n$ haben, unter einer Klammer zusammen.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n$

Um den Grenzwert für grosse $n$ zu bestimmen, formen wir den Bruch im Inneren der Klammer so um, dass die bekannte Definition der Euler'schen Zahl sichtbar wird.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot \left( \frac{1}{\frac{n+1}{n}} \right)^n = \frac{3}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}$

Nun betrachten wir den Grenzwert dieses gesamten Ausdrucks. Der Nenner konvergiert per Definition gegen die Euler'sche Zahl $e$.

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{e}$

Wir vergleichen diesen Grenzwert nun mit 1. Da $e \approx 2.718$ ist, ist der Zähler grösser als der Nenner.

$\frac{3}{e} > 1$

Fazit#

Da der Grenzwert des Quotienten strikt grösser als 1 ist, wachsen die Glieder der Reihe auf lange Sicht an, weshalb die Reihe nach dem Quotientenkriterium divergiert.

Weitere Übungen#

1. Untersuche die Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2 5^n}$ mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz.

Tipp anzeigen

Achte beim Ersetzen von $n$ durch $n+1$ im Zähler darauf, dass $(2(n+1))! = (2n+2)!$ entsteht und somit zwei neue Faktoren beim Kürzen mit $(2n)!$ übrig bleiben.

Lösung anzeigen

Wir bilden den Quotienten der Folgenglieder und nehmen den Betrag. $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2 5^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2 5^n}{(2n)!}$$ Wir gruppieren die Terme nach ihrer mathematischen Struktur und kürzen. $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^2 (n!)^2 5 \cdot 5^n} \cdot \frac{(n!)^2 5^n}{(2n)!}$$ Nach dem Kürzen der Fakultäten und der Fünferpotenz bleibt ein Bruch aus Polynomen stehen. $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{5(n+1)^2} = \frac{4n^2 + 6n + 2}{5n^2 + 10n + 5}$$ Wir klammern $n^2$ im Zähler und Nenner aus und berechnen den Grenzwert. $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{4}{5}$$ Da der Grenzwert strikt kleiner als 1 ist, konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut.

2. Für welche Werte von $x \in \mathbb{R}$ liefert das Quotientenkriterium eine absolute Konvergenz für die Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{3^n} x^n$?

Tipp anzeigen

Behandle $x$ während der Berechnung des Quotienten als feste Konstante und behalte den Betrag $|x|$ konsequent bei.

Lösung anzeigen

Wir setzen $a_n = \frac{n^3}{3^n} x^n$ und betrachten den Betrag des Quotienten für den Limes. $$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(n+1)^3 x^{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^3 x^n} \right|$$ Wir sortieren die Terme nach Potenzen und dem Parameter $x$. $$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}} \cdot \frac{|x|^{n+1}}{|x|^n}$$ Nach dem Kürzen vereinfacht sich der Ausdruck stark. $$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^3 \cdot \frac{1}{3} \cdot |x|$$ Wir bilden nun den Grenzwert für $n \to \infty$. $$\lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1^3 \cdot \frac{1}{3} \cdot |x| = \frac{|x|}{3}$$ Damit die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut konvergiert, muss dieser Grenzwert strikt kleiner als 1 sein. $$\frac{|x|}{3} < 1 \implies |x| < 3$$ Das Quotientenkriterium liefert somit die absolute Konvergenz für alle $x \in (-3, 3)$.