Grenzwertkriterium

In diesem Beitrag betrachten wir das Grenzwertkriterium. Dieses hilft uns zu entscheiden, ob eine unübersichtliche Reihe konvergiert, indem wir ihr Verhalten für grosse $n$ mit einer einfachen, uns bekannten Reihe vergleichen.

Problemstellung#

Bestimme, ob die folgende Reihe konvergiert oder divergiert:

$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3n^2 - 5n + 2}{n^5 + 4n^3 - 1}$

Lösungsansatz#

Um dieses Problem zu lösen, nutzen wir das Grenzwertkriterium. Das Argument einer Reihe wird dabei mit dem Argument einer ähnlichen, aber simpleren Reihe verglichen.

Allgemein kennt man das Konvergenzverhalten einer Reihe $\sum b_n$. Dann betrachtet man eine Reihe $\sum a_n$ und weil sie ungefähr so aussieht wie $\sum b_n$, erwartet man, dass sie das gleiche Konvergenzverhalten haben.

Die Strategie ist hier konkret: Wir betrachten die dominierenden Terme für grosse $n$. Im Zähler dominiert $n^2$, im Nenner dominiert $n^5$. Das bedeutet, der Bruch verhält sich asymptotisch wie $\frac{n^2}{n^5}$, was gekürzt $\frac{1}{n^3}$ ergibt. Wir wählen also $b_n = \frac{1}{n^3}$ als unsere Vergleichsreihe.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir definieren zuerst unsere beiden Folgen. Die gegebene Folge ist:

$a_n = \frac{3n^2 - 5n + 2}{n^5 + 4n^3 - 1}$

Unsere Vergleichsfolge, abgeleitet aus den höchsten Potenzen, ist:

$b_n = \frac{1}{n^3}$

Nun berechnen wir den Grenzwert des Quotienten $\frac{a_n}{b_n}$ für $n \to \infty$:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{3n^2 - 5n + 2}{n^5 + 4n^3 - 1} \cdot \frac{n^3}{1} \right)$

Wir multiplizieren den Zähler aus:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^5 - 5n^4 + 2n^3}{n^5 + 4n^3 - 1}$

Um den Grenzwert zu berechnen, klammern wir die höchste Potenz im Zähler und Nenner aus, in diesem Fall $n^5$:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^5 \left(3 - \frac{5}{n} + \frac{2}{n^2}\right)}{n^5 \left(1 + \frac{4}{n^2} - \frac{1}{n^5}\right)}$

Die Terme $n^5$ kürzen sich weg. Lassen wir nun $n$ gegen Unendlich laufen, gehen alle Brüche mit $n$ im Nenner gegen null:

$\frac{3 - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = 3$

Der Grenzwert $c = 3$ liegt echt zwischen null und Unendlich. Das Grenzwertkriterium besagt somit, dass $\sum a_n$ genau dann konvergiert, wenn $\sum b_n$ konvergiert.

Da $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ eine p-Reihe mit $p = 3 > 1$ ist, wissen wir, dass diese konvergiert. Folglich konvergiert auch unsere ursprüngliche Reihe.

Fazit#

Das Grenzwertkriterium zeigt formal, dass Terme mit niederen Potenzen das Langzeitverhalten eines Bruchs nicht beeinflussen und wir die Konvergenz allein durch den Vergleich der höchsten Potenzen verlässlich bestimmen können.

Weitere Übungen#

Übung 1#

Untersuche die Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n} + 1}{n^2 - n + 1}$ auf Konvergenz.

Tipp anzeigen

Finde die dominierenden Terme unter der Wurzel im Zähler und vergleiche sie mit der höchsten Potenz im Nenner.

Lösung anzeigen

Wir setzen $a_n = \frac{\sqrt{n} + 1}{n^2 - n + 1}$. Der Zähler wächst wie $n^{0.5}$, der Nenner wie $n^2$. Wir wählen daher $b_n = \frac{n^{0.5}}{n^2} = \frac{1}{n^{1.5}}$. Wir bilden den Quotienten:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} + 1}{n^2 - n + 1} \cdot n^{1.5}$

Ausmultiplizieren ergibt:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2 + n^{1.5}}{n^2 - n + 1}$

Wir klammern $n^2$ aus und kürzen:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}}{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{1 + 0}{1 - 0 + 0} = 1$

Da $0 < 1 < \infty$ gilt und die Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.5}}$ als p-Reihe mit $p = 1.5 > 1$ konvergiert, konvergiert nach dem Grenzwertkriterium auch unsere untersuchte Reihe.

Übung 2#

Untersuche die Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty \sin\left(\frac{1}{n}\right)$ auf Konvergenz.

Tipp anzeigen

Überlege dir, wie sich die Sinusfunktion verhält, wenn ihr Argument sehr klein wird.

Lösung anzeigen

Für grosse $n$ wird das Argument $\frac{1}{n}$ sehr klein. Wir wissen aus der Analysis, dass sich $\sin(x)$ für kleine $x$ fast identisch wie $x$ verhält. Daher setzen wir $a_n = \sin\left(\frac{1}{n}\right)$ und $b_n = \frac{1}{n}$. Wir berechnen den Grenzwert:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}$

Mit der Substitution $x = \frac{1}{n}$ folgt, dass $x \to 0$ für $n \to \infty$. Der Grenzwert wird zum bekannten Standardlimes:

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

Da der Grenzwert $c = 1$ im erlaubten Bereich liegt, haben beide Reihen das gleiche Konvergenzverhalten. Die harmonische Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ divergiert. Nach dem Grenzwertkriterium divergiert somit auch die Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty \sin\left(\frac{1}{n}\right)$.

Übung 3#

Untersuche die Reihe $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt[3]{n^5 + n^3-1}}$ auf Konvergenz.

Tipp anzeigen

Bestimme das asymptotische Verhalten von Zähler und Nenner getrennt. Schreibe die Wurzeln als Potenzen und vergleiche die Exponenten.

Lösung anzeigen

Wir setzen $a_n = \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt[3]{n^5 + n^3 - 1}}$. Im Zähler dominiert $\sqrt{n+1} \approx n^{1/2}$, im Nenner dominiert $\sqrt[3]{n^5} = n^{5/3}$. Der Bruch verhält sich asymptotisch wie $\frac{n^{1/2}}{n^{5/3}} = n^{1/2 - 5/3} = n^{-7/6}$. Wir wählen daher $b_n = \frac{1}{n^{7/6}}$ und berechnen:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt[3]{n^5 + n^3 - 1}} \cdot n^{7/6}$

Im Zähler klammern wir $n^{1/2}$ aus, im Nenner $n^{5/3}$:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^{1/2} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{n^{5/3} \cdot \sqrt[3]{1 + n^{-2} - n^{-5}}} \cdot n^{7/6}$

Da $\frac{1}{2} + \frac{7}{6} = \frac{3}{6} + \frac{7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ gilt, kürzen sich die Potenzen von $n$ heraus:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{\sqrt[3]{1 + n^{-2} - n^{-5}}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt[3]{1}} = 1$

Da $c = 1$ im erlaubten Bereich liegt und die Reihe $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n^{7/6}}$ eine p-Reihe mit $p = \frac{7}{6} > 1$ ist, konvergiert sie. Nach dem Grenzwertkriterium konvergiert somit auch die untersuchte Reihe.