Detaillierte Hinweise#

Falls du irgendwo stecken geblieben bist, helfen dir diese spezifischeren Tipps weiter.

Aufgabe 1: Konvergenz von Reihen I#

• (a) Multipliziere Zähler und Nenner mit $\sqrt{k+1}+\sqrt{k}$. Danach kannst du das Leibniz-Kriterium anwenden. Zeige die fehlende absolute Konvergenz durch Berechnen der Partialsumme, welche eine einfache Form annimmt.
• (b) Wenn du die $k$-te Wurzel ziehst, erhältst du den Term $(1+1/k)^k$ im Zähler, der für große $k$ gegen $e$ strebt. Vergleiche den resultierenden Grenzwert mit 1.
• (c) Nach dem Ausklammern von $3/2$ bleibt genau die harmonische Reihe übrig.

Aufgabe 2: Konvergenz von Reihen II#

• (a) Beim Berechnen von $a_{n+1}/a_n$ entstehen Terme wie $(2(n+1))!$. Das ist identisch zu $(2n+2)!$ und lässt sich als $(2n+2)(2n+1)(2n)!$ umschreiben, wodurch sich fast alles kürzen lässt.
• (b) Wenn du die $n$-te Wurzel ziehst, wird der Nenner zu $n \sqrt[n]{n}$. Erinnere dich daran, gegen welchen Wert $\sqrt[n]{n}$ für große $n$ strebt.
• (c) Wenn die Folge der Summanden nicht gegen 0 konvergiert, kann die Reihe niemals konvergieren. Bestimme also den Grenzwert von $(n+1)/(2n+1)$ für $n \to \infty$.
• (d) Setze den Ansatz $\frac{1}{n(n+4)} = \frac{A}{n} - \frac{B}{n+4}$ an und bestimme $A$ und $B$. Danach heben sich in der Summe fast alle Terme gegenseitig auf, ähnlich wie bei Aufgabe 3.

Aufgabe 3: Teleskopsummen#

• (a) & (b) Schreibe die Terme $(b_1 - b_2) + (b_2 - b_3) + \dots + (b_N - b_{N+1})$ auf. Du siehst direkt, dass sich die mittleren Terme aufheben und nur der erste und der letzte Term der gesamten Summe übrig bleiben.
• (c) Identifiziere den Term $b_n$. Hier ist $b_n = 3/n^2$. Da dieser Ausdruck für große $n$ gegen null geht, bleibt nach Teil b) nur der erste Term als Grenzwert der Reihe.
• (d) Bringe den Bruch $\frac{1}{n(n+1)}$ auf die Form $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$. Dann kannst du exakt wie im vorherigen Aufgabenteil vorgehen.

Aufgabe 4: Brückenbauen mit Bauklötzen#

• (a) & (b) Der Schwerpunkt von $n$ Klötzen darf maximal genau auf der Kante des darunterliegenden $(n+1)$-ten Klotzes liegen. Die überhängende Masse der Klötze 1 bis $n$ lässt sich als Summe $\sum i a_i$ ausdrücken, welche die halbe Gesamtmasse $n/2$ nicht überschreiten darf.
• (c) Aus der Schwerpunktsbedingung kommst du auf eine Ungleichung für $a_{n+1}$. Wenn du das schrittweise ausrechnest, landest du bei der Vermutung $a_n = 1/(2n)$.
• (d) Dies ist der Standardbeweis für die Divergenz der harmonischen Reihe. Gruppiere die Terme ab $k=3$ in Blöcke der Längen 2, 4, 8 usw. Jeder dieser Blöcke ist in der Summe strikt größer als $1/2$.

Aufgabe 5: Multiple-Choice-Aufgaben#

Für die erste Frage liefert die Beschränktheit der Nullfolge $a_k$ eine Konstante $C$, für die $|a_k| \le C$ gilt. Damit lässt sich die Ungleichung $a_k^2 \le C |a_k|$ aufstellen. Nutze dies zusammen mit dem Majorantenkriterium. Bei der dritten Frage ist das Konzept der absoluten Konvergenz der Schlüssel. Eine absolut konvergente Reihe darf beliebig umgeordnet werden oder ausgedünnt werden, ohne ihre Konvergenzeigenschaft zu verlieren.