Trivialkriterium

Bei der Untersuchung von Reihen stürzen sich viele direkt auf das Quotienten- oder Wurzelkriterium. Oft vergisst man dabei den einfachsten ersten Schritt, der einem extrem viel Rechenarbeit ersparen kann. Das Trivialkriterium schliesst eine Konvergenz sofort aus, wenn die Summanden sich nicht einer Nullfolge annähern.

Problemstellung#

Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz: $\sum\limits_{n=1}^\infty \left( \sqrt{n^2+n} - n \right)$

Lösungsansatz#

Wir nutzen die Kontraposition dieses Satzes: Wenn die Folge der Summanden $(a_n)$ keine Nullfolge ist, dann divergiert die Reihe automatisch. Auf den ersten Blick ist bei unserem Ausdruck nicht sofort ersichtlich, wie sich die Folge verhält, da wir es mit einer Differenz zweier unendlich wachsender Terme zu tun haben. Um den wahren Grenzwert sichtbar zu machen, erweitern wir den Ausdruck mit seinem Konjugierten und wenden die dritte binomische Formel an.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir definieren den Summanden als $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ und untersuchen seinen Grenzwert für $n \to \infty$. Wir erweitern den Term als Bruch mit seinem konjugierten Ausdruck: $a_n = \left(\sqrt{n^2+n} - n\right) \cdot \frac{\sqrt{n^2+n} + n}{\sqrt{n^2+n} + n}$

Im Zähler nutzen wir die Struktur der dritten binomischen Formel $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $a_n = \frac{(n^2+n) - n^2}{\sqrt{n^2+n} + n}$

Der Zähler vereinfacht sich dadurch enorm: $a_n = \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + n}$

Um den Grenzwert zu bestimmen, klammern wir die höchste Potenz von $n$ im Nenner aus. Unter der Wurzel entspricht dies $n^2$: $a_n = \frac{n}{\sqrt{n^2\left(1 + \frac{1}{n}\right)} + n}$

Da $n$ eine positive natürliche Zahl ist, ziehen wir die Wurzel aus $n^2$ und erhalten den Faktor $n$ vor der Wurzel: $a_n = \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + n}$

Nun klammern wir im Nenner $n$ aus und kürzen den gesamten Bruch damit: $a_n = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$

Der Term $\frac{1}{n}$ strebt für $n \to \infty$ gegen null, was uns den finalen Grenzwert liefert: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2}$

Fazit#

Der Grenzwert der Summandenfolge ist $\frac{1}{2}$ und somit strikt grösser als null. Nach dem Trivialkriterium divergiert die untersuchte Reihe.

Weitere Übungen#

1. Untersuche die Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{n+1}{n}\right)^n$ auf Konvergenz.

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Forme den Summanden leicht um und erinnere dich an die klassische Grenzwertdefinition der eulerschen Zahl.

Lösung anzeigen

Wir schreiben den Bruch im Summanden zunächst als Summe: $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ Der Grenzwert dieses Ausdrucks für $n \to \infty$ ist exakt die Definition der eulerschen Zahl $e$: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = e$ Da $e \approx 2.718$ nicht null ist, divergiert die Reihe nach dem Trivialkriterium.

2. Untersuche die Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ auf Konvergenz.

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Verwende ein Logarithmusgesetz, um den Faktor als Potenz in das Innere des Logarithmus zu verschieben.

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Wir formen den Summanden $a_n$ mit Hilfe der Regel $c \ln(x) = \ln(x^c)$ um: $a_n = \ln\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)$ Da der natürliche Logarithmus eine stetige Funktion ist, dürfen wir den Grenzwert in das Argument hineinziehen: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \ln\left(\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right) = \ln(e)$ Der Logarithmus von $e$ ergibt $1$. Da der Grenzwert ungleich null ist, divergiert die Reihe nach dem Trivialkriterium.

3. Untersuche die Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty \cos\left(\pi \frac{n^2}{n^2+1}\right)$ auf Konvergenz.

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Bestimme zuerst den Grenzwert des Bruchs im Argument und nutze aus, dass die Kosinusfunktion stetig ist.

Lösung anzeigen

Wir analysieren zunächst den Bruch im Argument der Kosinusfunktion, indem wir im Zähler und Nenner $n^2$ ausklammern und kürzen: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+1} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n^2}} = 1$ Dank der Stetigkeit der Kosinusfunktion erhalten wir den Grenzwert der gesamten Summandenfolge: $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \cos(\pi \cdot 1) = -1$ Der Grenzwert ist $-1$ und damit ungleich null, weshalb die Reihe nach dem Trivialkriterium divergiert.