Tipps für die Übungen dieser Woche#

Hier sind ein paar kurze Hinweise, um dir den Einstieg in die Serie 5 zu erleichtern. Versuch zuerst, mit diesen Andeutungen weitestgehend selbstständig zu arbeiten.

Aufgabe 1: Konvergenz von Reihen I#

• (a) Erweitere den Bruch geschickt mit der dritten binomischen Formel, um den Term im Zähler zu vereinfachen.
• (b) Hier bietet sich das Wurzelkriterium an. Erinnere dich an die Definition der eulerschen Zahl durch einen Limes.
• (c) Klammere konstante Faktoren aus und vergleiche die verbleibende Reihe mit einer bekannten divergenten Reihe.

Aufgabe 2: Konvergenz von Reihen II#

• (a) Bei Ausdrücken mit Fakultäten führt das Quotientenkriterium oft am schnellsten zum Ziel.
• (b) Wegen der Terme im Exponenten von Zähler und Nenner ist das Wurzelkriterium hier ein passendes Werkzeug.
• (c) Überprüfe das notwendige Kriterium für die Konvergenz einer Reihe.
• (d) Versuche, den Bruch durch Partialbruchzerlegung in zwei einfachere Brüche aufzuteilen.

Aufgabe 3: Teleskopsummen#

Schreibe dir für die ersten Teilaufgaben die Summe für kleine explizit aus, um das Muster zu erkennen. Die späteren Aufgabenteile sind direkte Anwendungen dieses Prinzips.

Aufgabe 4: Brückenbauen mit Bauklötzen#

• (a) & (b) Überlege dir physikalisch, wo der gemeinsame Schwerpunkt der oberen Klötze liegen darf, damit der Stapel nicht kippt.
• (c) Finde durch Betrachtung der ersten paar Klötze ein Muster und beweise es.
• (d) Fasse geschickt Blöcke von Termen in der Reihe zusammen, um sie nach unten durch eine divergente Reihe abzuschätzen.

Aufgabe 5: Multiple-Choice-Aufgaben#

Mache dir klar, dass die Glieder einer konvergenten Reihe immer eine Nullfolge bilden und somit beschränkt sind. Nutze diese Schranke für Abschätzungen.

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