Teleskopsummen

Ich stelle mir Teleskopsummen gerne wie ein klassisches Fernrohr vor. Wenn man es zusammenschiebt, verschwinden die mittleren Segmente ineinander und nur das allererste und das allerletzte Stück bleiben übrig. In der Analysis suchen wir oft nach Wegen, unendliche Reihen nicht nur auf Konvergenz zu prüfen, sondern ihren genauen Wert zu berechnen. Teleskopsummen sind hier ein eleganter Fall, bei dem sich fast alle Terme der Partialsumme durch Vorzeichenwechsel gegenseitig aufheben.

Problemstellung#

Zeige, dass die folgende Reihe konvergiert, und berechne ihren genauen Wert:

Lösungsansatz#

Wir wollen den exakten Wert der Reihe finden. Kriterien wie das Quotientenkriterium würden uns hier nur die Konvergenz bestätigen, liefern aber keinen Grenzwert. Da der Summand eine rationale Funktion ist, drängt sich die Partialbruchzerlegung auf. Unser Ziel ist es, den Ausdruck im Nenner zu faktorisieren und den Bruch als Differenz von zwei einfacheren Brüchen zu schreiben, um den Teleskopeffekt zu erzwingen.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir betrachten zuerst den Summanden und klammern im Nenner aus.

Nun wenden wir die Partialbruchzerlegung an. Wir suchen zwei Konstanten A und B, sodass wir den Bruch aufteilen können.

Wir multiplizieren die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner, um A und B zu bestimmen.

Wenn wir einsetzen, erhalten wir , woraus folgt. Setzen wir ein, erhalten wir , woraus folgt. Wir können unseren Summanden also umschreiben.

Jetzt betrachten wir die N-te Partialsumme, um zu sehen, welche Terme sich aufheben. Wir schreiben die ersten paar und die letzten paar Terme explizit aus.

Wir notieren die Terme für bis .

Ich sehe, dass fast alle Brüche doppelt vorkommen, einmal negativ und einige Schritte später positiv. Die aus dem ersten Term hebt sich mit der aus dem dritten Term auf. Dieser Prozess setzt sich fort. Übrig bleiben nur die Terme ganz am Anfang, die keine negativen Partner haben, und die Terme ganz am Ende, die keine positiven Partner mehr finden.

Um den Wert der unendlichen Reihe zu berechnen, bilden wir nun den Grenzwert der Partialsumme für N gegen unendlich.

Da die Brüche mit N im Nenner gegen 0 konvergieren, bleibt nur die Konstante übrig.

Fazit#

Die Reihe konvergiert gegen 1.5. Durch die Umformung des allgemeinen Gliedes konnten wir eine unendlich lange Addition auf eine simple Grenzwertbetrachtung der übrig gebliebenen Randterme reduzieren.

Weitere Übungen#

1. Berechne den genauen Wert der folgenden Reihe:

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Faktorisiere den Nenner zu einem Produkt aus zwei Klammern und führe anschliessend eine Partialbruchzerlegung durch.

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Der Nenner lässt sich faktorisieren zu .

Wir setzen an zur Partialbruchzerlegung:

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner erhalten wir . Einsetzen von liefert , und liefert .

Der Summand ist also .

Wir schreiben die N-te Partialsumme auf:

Hier heben sich benachbarte Terme direkt auf. Es bleibt nur der erste und der letzte Term stehen:

Der Grenzwert liefert das finale Resultat:

2. Berechne den genauen Wert der folgenden Reihe:

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Bringe den Ausdruck im Logarithmus auf einen gemeinsamen Nenner, wende die dritte binomische Formel an und nutze die Logarithmusgesetze, um den Ausdruck als Differenz zu schreiben.

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Wir formen den Summanden zuerst algebraisch um:

Mit der dritten binomischen Formel können wir den Zähler aufspalten:

Wir teilen den Bruch so auf, dass wir zwei ähnliche Faktoren erhalten:

Nun wenden wir die Logarithmusgesetze an () und formen den zweiten Bruch um:

Jetzt haben wir die perfekte Form für eine Teleskopsumme erreicht. Wir schreiben die Partialsumme von bis auf:

Die inneren Terme fallen alle weg. Übrig bleibt:

Für N gegen unendlich konvergiert der Bruch gegen 1. Da ist, folgt für den Grenzwert: