Wie man Divergenz durch geschicktes Abschätzen nach unten beweist.
Oft begegnen uns in der Analysis Reihen, deren Terme sehr kompliziert aussehen. Wenn wir vermuten, dass eine Reihe divergiert, können wir versuchen, jeden Term so weit zu verkleinern, bis eine altbekannte, divergente Reihe zum Vorschein kommt.
Wir betrachten das Verhalten des Bruchs für sehr grosse . Der Zähler wächst grob wie , während der Nenner wie wächst. Der gesamte Term verhält sich also ähnlich wie . Da die Reihe über divergiert, vermuten wir stark, dass auch unsere Reihe divergiert. Unser Ziel ist es nun, den Bruch systematisch nach unten abzuschätzen, um die harmonische Reihe als Minorante freizulegen. Um einen Bruch zu verkleinern, können wir entweder seinen Zähler verkleinern oder seinen Nenner vergrössern.
Wir suchen eine Abschätzung der Form . Wir beginnen mit dem Zähler und verkleinern ihn. Da ist, gilt für alle :
Nun betrachten wir den Nenner und vergrössern ihn. Da für , gilt:
Wir setzen beide Abschätzungen zusammen. Da alle beteiligten Terme für strikt positiv sind, dürfen wir die Ungleichungen für den Bruch kombinieren. Wir teilen einen kleineren Zähler durch einen grösseren Nenner und erhalten zwingend einen kleineren Wert:
Der letzte Term lässt sich direkt kürzen:
Wir haben somit gezeigt, dass für alle gilt:
Unsere Minorante ist also . Wir wissen bereits, dass die harmonische Reihe divergiert. Nach dem Minorantenkriterium divergiert folglich auch unsere ursprüngliche Reihe.
Durch das kontrollierte Verkleinern des Zählers und Vergrössern des Nenners haben wir die komplexe Reihe auf die harmonische Reihe reduziert, was die Divergenz zwingend macht.
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Überlege dir, welcher Term im Nenner für grosse n dominiert, und vergrössere den Nenner durch eine geeignete Abschätzung mit diesem dominanten Term.
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Wir wissen, dass der Logarithmus viel langsamer wächst als eine Wurzelfunktion. Genauer gesagt gilt für alle . Damit können wir den Nenner nach oben abschätzen, um den gesamten Bruch nach unten abzuschätzen.
Es gilt .
Daraus folgt für die Glieder der Reihe:
Die Minorante ist also ein Vielfaches der p-Reihe . Da hier ist, divergiert diese p-Reihe. Nach dem Minorantenkriterium divergiert somit auch die gegebene Reihe.
Prüfe die Reihe auf Konvergenz.
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Die n-te Wurzel aus n nähert sich für grosse n dem Wert 1 an und ist durch eine Konstante nach oben beschränkt.
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Die Folge konvergiert gegen 1 und ist für alle durch eine Konstante beschränkt. Konkret nimmt sie ihr Maximum bei mit etwa an. Es gilt also sicher für alle .
Wir schätzen den Nenner nach oben ab, um den Bruch nach unten abzuschätzen:
Daraus ergibt sich die Abschätzung für die Reihenglieder:
Die Reihe divergiert, da sie exakt die Hälfte der harmonischen Reihe ist. Nach dem Minorantenkriterium divergiert daher auch die ursprüngliche Reihe.
Prüfe die Reihe auf Konvergenz.
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Verwende die offensichtliche obere Schranke für die Fakultät und nutze anschliessend den Cauchyschen Verdichtungssatz für die Minorante.
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Wir vergrössern den Nenner, um eine geeignete Minorante zu finden. Die Fakultät lässt sich trivialerweise durch nach oben abschätzen.
Wir wenden den natürlichen Logarithmus an. Da dieser streng monoton wachsend ist, bleibt die Ungleichung erhalten:
Daraus folgt für den Kehrwert:
Nun müssen wir noch zeigen, dass die Minorante divergiert. Da die Folge aus positiven, monoton fallenden Gliedern besteht, liefert uns der Cauchysche Verdichtungssatz das exakte Konvergenzverhalten. Wir betrachten die verdichtete Reihe:
Da die harmonische Reihe divergiert, divergiert auch die verdichtete Reihe und damit auch unsere Minorante. Nach dem Minorantenkriterium divergiert somit die ursprüngliche Reihe.