Wie man schwer fassbare Reihen durch bekannte, grössere Reihen bändigt.
In diesem Beitrag wenden wir das Majorantenkriterium auf eine konkrete Reihe an. Oft reicht es nicht aus, nur auf den dominierenden Term zu schauen. Wir müssen die Abschätzung präzise aufbauen.
Um das Majorantenkriterium anzuwenden, suchen wir eine Folge , sodass ab einem bestimmten Index gilt und die Summe über konvergiert. Der Bruch sieht kompliziert aus, aber für sehr grosse dominiert im Zähler der Term und im Nenner der Term . Wir erwarten ein Verhalten proportional zu . Da die p-Reihe für konvergiert, versuchen wir, unseren Bruch nach oben durch ein Vielfaches von abzuschätzen. Dafür müssen wir den Zähler vergrössern und den Nenner verkleinern.
Wir betrachten den Betrag des allgemeinen Gliedes der Reihe für .
Schritt 1: Zähler vergrössern.
Da der Sinus beschränkt ist, gilt . Somit ist . Da wir betrachten, gilt und wir können weiter abschätzen zu . Der Zähler ist für immer positiv.
Schritt 2: Nenner verkleinern.
Damit der gesamte Bruch grösser wird, müssen wir den Nenner nach unten abschätzen. Wir suchen eine Konstante , sodass gilt. Das ist äquivalent zu . Für alle ist , woraus folgt. Multiplizieren wir das mit , erhalten wir . Auch der Nenner ist für positiv.
Schritt 3: Abschätzung zusammensetzen.
Nun setzen wir die beiden Abschätzungen zusammen. Da Zähler und Nenner positiv sind, können wir die Betragsstriche weglassen:
Schritt 4: Konvergenz der Majorante prüfen.
Die Reihe über unsere gefundene Majorante lautet:
Dies ist ein Vielfaches der bekannten p-Reihe mit . Da ist, konvergiert diese Majorante. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert somit auch unsere ursprüngliche Reihe absolut.
Durch das gezielte Vergrössern des Zählers und das Verkleinern des Nenners konnten wir die unübersichtliche Reihe auf ein Vielfaches der bekannten p-Reihe zurückführen. Das beweist zweifelsfrei die absolute Konvergenz.
Tipp anzeigenFinde eine geometrische Reihe als Majorante, indem du die Konstanten im Zähler und Nenner passend durch Potenzen abschätzt.Lösung anzeigen
Für den Zähler gilt . Für den Nenner suchen wir eine Abschätzung nach unten. Für gilt , da dies äquivalent zu für kleine ist beziehungsweise ab stets erfüllt ist. Setzen wir das zusammen, erhalten wir:
Die Reihe ist eine geometrische Reihe mit dem Faktor . Wegen konvergiert diese Majorante. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch die ursprüngliche Reihe absolut.
Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:
Tipp anzeigenNutze aus, dass der natürliche Logarithmus viel langsamer wächst als jede Potenzfunktion und schätze ihn nach oben ab.Lösung anzeigen
Wir wissen, dass für alle die strenge Ungleichung gilt. Damit können wir den Bruch direkt nach oben abschätzen durch:
Da alle Terme für positiv oder null sind, reicht diese einfache Abschätzung aus. Die Reihe konvergiert als p-Reihe mit . Nach dem Majorantenkriterium konvergiert folglich auch die Reihe mit dem Logarithmus.