Detaillierte Hinweise#

Falls du irgendwo stecken geblieben bist, helfen dir diese spezifischeren Tipps weiter.

Aufgabe 1: Differenzieren - I#

Zu Teil b: Alternativ zur Quotientenregel kannst du den Bruch mit einer Polynomdivision umschreiben. Das macht das Ableiten etwas übersichtlicher.

Zu Teil c: Ein bekanntes Additionstheorem für den Sinus vereinfacht die Funktion vor dem Ableiten erheblich.

Zu Teil e: Schreibe den Tangens als Bruch aus Sinus und Kosinus und wende dann die Quotientenregel zusammen mit der Kettenregel an.

Aufgabe 2: Differenzieren - II#

Zu Teil c: Kürze den Betrag von $x$, um die Funktion für die stetige Fortsetzung zu vereinfachen. Bilde danach die links- und rechtsseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten.

Zu Teil d: Du kannst die Ableitung deutlich vereinfachen, wenn du die Logarithmusgesetze nutzt, um den Bruch im Argument in eine Differenz von zwei Logarithmen aufzuteilen.

Zu Teil e: Für die stetige Fortsetzung bei 0 kannst du ausnutzen, dass die Funktion Logarithmus bei 1 differenzierbar ist.

Zu Teil h und i: Nutze die Identität $a^b = e^{b \ln(a)}$. Achte bei der anschliessenden Ableitung auf die korrekte mehrfache Anwendung der Ketten- und Produktregel.

Aufgabe 3: Beispiele für Nicht-Differenzierbarkeit#

Zu Teil a: Prüfe den Funktionswert bei 0 von beiden Seiten. Eine Funktion, die an einer Stelle nicht stetig ist, kann dort nicht differenzierbar sein.

Zu Teil b: Berechne den Differenzenquotienten explizit. Der Exponent von $x$ im Nenner wird dominieren, was für $x \to 0$ zu einem unbeschränkten Wachstum führt.

Zu Teil c: Bestimme die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung getrennt. Sie ergeben unterschiedliche Werte, was geometrisch einem Knick im Graphen entspricht.

Zu Teil d: Wähle spezielle Nullfolgen für $x$, bei denen der Sinus abwechselnd unterschiedliche Werte annimmt. Damit zeigst du, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht existiert.

Aufgabe 4: Multiple-Choice-Aufgaben#

Bei der Frage zur Symmetrie kannst du direkt die Eigenschaft $f(-x) = f(x)$ für eine gerade Funktion ableiten. Bedenke dabei die Kettenregel auf der linken Seite.

Bei der letzten Aufgabe gilt der Satz, dass eine positive zweite Ableitung auf eine nach oben geöffnete Kurve hindeutet, was der Definition einer streng konvexen Funktion entspricht.