Multiple Choice Analysis I

Antwort: (B). Vollständigkeit von $\mathbb{R}$ ist unter anderem dazu äquivalent, dass jede nicht-leere, nach oben beschränkte Menge in $\mathbb{R}$ ein Supremum besitzt. Daraus folgt direkt, dass jede beschränkte, monotone reelle Folge in $\mathbb{R}$ konvergiert, also stimmt (B). Option (A) ist falsch, weil jedes offene reelle Intervall abzählbar viele rationale Zahlen enthält. (C) scheitert, weil das Supremum einer in $\mathbb{Q}$ beschränkten Menge in $\mathbb{R}$ liegen kann, aber keines in $\mathbb{Q}$. (D) passiert eher zum Satz von Bolzano-Weierstrass für beschränkte Folgen, nicht unmittelbar zur Formulierung der Vollständigkeit.

Antwort: (C). Die Bedingung $x^2 < 3$ bedeutet $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$. Die Menge $S$ ist also das offene Intervall $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$, und das Supremum ist der rechte Randpunkt: $\sup S = \sqrt{3}$.

Antwort: (D). Teilmenge 1, nämlich $1 - 1/n$ für $n \in \mathbb{N}$, liefert Werte in $[0,1)$. Teilmenge 2, nämlich $(n+1)/n = 1 + 1/n$, liefert Werte in $(1,2]$, wobei das Maximum 2 für $n=1$ angenommen wird. Alles liegt in $[0,2]$, also ist $A$ beschränkt, und (D) trifft zu. (A) und (B) sind falsch. Auch (C) ist wahr, weil $\sup A = 2$; in einer Einfachauswahl ist hier typischerweise (D) als allein richtig markierbar, falls die Aufgabe so gestellt war.

Antwort: (B). Wir fassen die Differenz der Brüche zusammen: $2 - \frac{1}{n+3} + \frac{1}{n+4} = 2 - \frac{1}{(n+3)(n+4)}.$ Für wachsendes $n$ wird der Subtrahend $1/((n+3)(n+4))$ kleiner, also wächst der Ausdruck. Das Infimum, also der kleinste Wert, wird an der kleinsten vorkommenden Stelle $n=0$ angenommen, und das ist $2 - \frac{1}{3} + \frac{1}{4}.$

Antwort: (B). Jede nicht-leere, nach oben beschränkte Teilmenge von $\mathbb{R}$ besitzt in $\mathbb{R}$ ein Supremum. Dazu braucht es ein Maximum in der Menge selbst nicht, etwa bei offenen Intervallen, daher fällt (A) weg. (C) und (D) passen ganz allgemein nicht.

Antwort: (B). Ein Produkt in $\mathbb{C}$ ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Wegen $2025>0$ folgt daraus $z+\pi=0$, also $z=-\pi$. Nur $z = -\pi$ erfüllt $(z+\pi)^{2025} = 0$ in $\mathbb{C}$, unabhängig von der Zahl 2025 im Exponenten. Also gibt es genau eine Lösung.

Antwort: (B). Setze $w = z - i$. Dann muss $w^n = e$ gelten. Dazu wählst du in $\mathbb{C}$ die $n$ verschiedenen $n$-ten Wurzeln von $e$ und rechnest jeweils $z$ aus $w = z - i$ zurück, also bekommst du genau $n$ Lösungen für $z$.

Antwort: (A). Die Summe $\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$ ist die Exponentialreihe, die für alle $z \in \mathbb{C}$ gegen $e^z$ konvergiert. Mit $z = \frac{\pi i}{3}$ ist $e^{i\pi/3} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Das kennzeichnet Option (A).

Antwort: (A). Der Betrag $|\cdot|$ ist auf $\mathbb{C}$ stetig. Wenn $a_n \to a$ in $\mathbb{C}$, strebt also $|a_n| \to |a|$. Die übrigen Optionen widersprichst du mit einfachen Beispielen, etwa der Nullfolge.

Antwort: (B). Dass $a_n$ gegen $-\infty$ strebt, heisst: Zu jeder reellen Schranke, egal wie negativ, liegen fast alle $a_n$ darunter. Mathematisch: zu jedem $T$ existiert $N$, sodass für alle $n \ge N$ gilt $a_n < -T$. In den Antworten bleibt (B) übrig, wenn du $T \ge 1$ erlaubst. (A) beschreibt Konvergenz der Folge zu $0$, (C) und (D) vertauschen All- und Existenzquantoren und sind falsch.

Antwort: (A). Genau so liest man das Cauchy-Kriterium in $\mathbb{R}$: zu jedem $\varepsilon > 0$ findest du ein $N$, sodass für alle $n$ und $m$ ab diesem Index die Abstandsbedingung $|a_n - a_m| < \varepsilon$ gilt. In (B) bis (D) weicht etwas ab: $N$ ist zu schwach, die Reihenfolge der Teile 'für alle' und 'es gibt' ist falsch, oder der Abstand wird in die falsche Richtung verlangt.

Antwort: (C). Schreibe $(1 - \tfrac{1}{n})^n$ als $(1 + \tfrac{-1}{n})^n$ und wende den Fundamentallimes an: $\lim\limits_{n \to \infty} (1 + x/n)^n = e^x$ mit $x = -1$, also Grenzwert $e^{-1} = 1/e$.

Antwort: (B) falsch. Die alternierende Folge $a_n = (-1)^n$ ist beschränkt, besitzt aber keinen Limes, weil sie zwischen $-1$ und $1$ springt. Beschränktheit reicht in $\mathbb{R}$ nicht, Konvergenz liefert erst zusätzliches, etwa Monotonie mit Beschränkung oder der Satz von Bolzano-Weierstrass für Häufungspunkte, aber nicht jede beschränkte Folge konvergiert.

Antwort: (A). Wenn $a_n \le a_{n+1}$ für alle $n$ gilt, folgt daraus $-a_n \ge -a_{n+1}$, also ist $(-a_n)$ monoton fallend, sobald $(a_n)$ monoton steigend war. (B) braucht Beschränktheit, (C) und (D) widersprichst du leicht.

Antwort: (B), wertmässig $7/2 = 3.5$. Klammer $n^2$ aus: $\sqrt{n^4 + 7n^2} - n^2 = n^2\left(\sqrt{1 + \frac{7}{n^2}} - 1\right).$ Für $x \to 0$ nähert sich $\sqrt{1+x} - 1$ dem Wert $x/2$ an. Mit $x = 7/n^2$ folgt $n^2 \left(\sqrt{1 + \frac{7}{n^2}} - 1\right) \to \frac{1}{2} \cdot 7 = \frac{7}{2}.$

Antwort: (B) $4/3$. In rationalen Brüchen, bei denen Zähler- und Nennergrad gleich sind, nimmst du den Grenzwert als Verhältnis der führenden Koeffizienten, also $4/3$.

Antwort: (B) $2$. Wenn $L$ der Grenzwert wäre und die Rekursion $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 2}$ liefern, gilt im Limes wegen Stetigkeit von Wurzel und der rechten Seite $L = \sqrt{L+2}$ und $L \ge 0$. Quadrieren liefert $L^2 = L+2$, also $L=2$ oder $L=-1$; wegen $L \ge 0$ bleibt $L=2$.

Antwort: (A) $1$. Ziehe $3\sqrt{n}$ heraus: $\sqrt{9n-1} - 3\sqrt{n} = 3\sqrt{n}\left(\sqrt{1 - \frac{1}{9n}} - 1\right).$ Für grosse $n$ ist der Klammerausdruck ungefähr $-\frac{1}{18n}$, also bleibt ein Produkt, das gegen $0$ strebt. Dann wendet du Stetigkeit von $\exp$ an und erhältst $e^0=1$.

Antwort: (C). Wenn $(a_n)$ in $\mathbb{R}$ gegen $a$ konvergiert, konvergiert jede Teilfolge ebenfalls gegen $a$; daraus folgt, dass jede konvergente Teilfolge denselben Grenzwert $a$ hat. (B) wäre zwar wahr, weil $a$ selbst ein Häufungspunkt ist, (C) formuliert die Eigenschaft scharf über alle konvergenten Teilfolgen. (A) und (D) sind allgemein falsch.

Antwort: (B) $\sqrt{3}/2$. Der Winkel $n\pi/3$ springt in Schritten von $60°$; die Sinuswerte kreisen in einer endlichen Menge, und der grosse sinnvoll vorkommende Wert tritt als $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ auf, nicht $1$.

Antwort: (C) $-\sqrt{3}/2$. Genauso tauchen in dieser gleichen endlichen Sinusmenge Werte ab $-\sin(\pi/3) = -\sqrt{3}/2$ auf, aber $-1$ erscheint am Punkt $-\pi/2$, der hier wegen $n\pi/3$ nicht eingenommen wird.

Antwort: (A). Eine reelle Folge $(a_n)$ strebt genau gegen $a \in \mathbb{R}$, wenn $\liminf a_n = \limsup a_n = a$ gilt. Allein aus Beschränktheit, dem Vorliegen von Häufungspunkten oder ähnlichem folgt Konvergenz noch nicht.

Antwort: (B) $\limsup a_n>0$. Für gerade $n$ ergibt sich $1 + \frac{1+1/n}{3} \to 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.$ Für ungerade $n$ lautet der zweite Bruch $1 + \frac{-1+1/n}{1} = \frac{1}{n} \to 0.$ Die Teilfolge zu geraden $n$ liefert Werte nahe $4/3$, jene zu ungeraden geht gegen $0$. Also ist der Limes superior positiv, und (B) stimmt.

Antwort: (B) falsch. Wähle $a_n = \sin(n)$. Sicher ist $-1 \le a_n \le 1$, also ist $(a_n)$ beschränkt. Ohne tiefen Beweis: die Werte $\sin(n)$ liegen in $[-1,1]$ dicht, in jedem echten Teilintervall von $[-1,1]$ passiert die Folge unendlich oft vorbei, und damit hat sie jeden Wert in $[-1,1]$ als Häufungspunkt, also unendlich viele, nicht endlich. Die Aussage in der Frage trifft also nicht einmal auf diese ganz zahme, beschränkte Sinusfolge zu.

Antwort: (C) divergiert. Die Summanden erfüllen $e^n / n^{2018} \to \infty$ für $n \to \infty$. Damit bilden sie keine Nullfolge, und nach dem Trivialkriterium kann die zugehörige Reihe nicht konvergieren.

Antwort: (C). Wenn du $a_n = (n/(n+1))^n$ setzt, rechnen die $n$-ten Wurzeln gemäss Wurzelkriterium $\sqrt[n]{|a_n|} = n/(n+1) \to 1$. An der Grenze $1$ entscheidet das Wurzelkriterium vorsichtig keinen Konvergenz- oder Divergenzschluss, solange du ausschliesslich diesen Grenzwert betrachtest. Nebenbei strebt der Summand wegen $a_n \to 1/e \neq 0$ selbst nicht gegen $0$, womit die Reihe ohnehin divergiert. Die Frage will aber wissen, was aus dem Wurzelkriterium an dieser Stelle folgt, und dazu passt (C).

Antwort: (A). Wenn $\sum |a_n|$ konvergiert, konvergiert $\sum a_n$ in $\mathbb{R}$ oder in $\mathbb{C}$ schlicht deshalb, weil absolute Konvergenz in dieser Vorlesung genau dazu definiert ist, und aus $\sum |a_n| < \infty$ folgt stets die Konvergenz von $\sum a_n$.

Für (B) reicht $a_n = 0$ für alle $n$ oder $a_n = 1/2^n$: die absolute Reihe konvergiert, und $\sum a_n^2$ konvergiert ebenfalls, divergiert also nicht. (C) fällt mit $a_n = (-1)^n / n^2$: $a_n$ wechselt, ist nicht monoton, trotzdem $\sum 1/n^2$ absolut. (D) geht so nicht: Wenn die Reihe der Beträge endlichen Wert hat, muss $a_n \to 0$, also ist $(a_n)$ beschränkt, etwa $|a_n| \le 1$ ab passendem Index, nicht unbeschränkt.

Antwort: (B) absolut. Zuerst die Betragsglieder, mit $e^n$ im Zähler: $\left|\frac{(-1)^n (n+1)^5 e^n}{e^{n^2} - n}\right| = (n+1)^5\,\frac{e^n}{e^{n^2} - n}.$ Faktor $e^{n^2}$ im Nenner aus: $\frac{e^n}{e^{n^2} - n} = \frac{e^n}{e^{n^2}\left(1 - n e^{-n^2}\right)} = \frac{e^{n - n^2}}{1 - n e^{-n^2}}.$ Für grosse $n$ ist $n e^{-n^2} \to 0$, also ist der zweite Faktor nahe $1$ und $(n+1)^5\,\frac{e^{n - n^2}}{1 - n e^{-n^2}} \le 2 (n+1)^5 e^{n - n^2}$ sobald $n$ so gross ist, dass $1 - n e^{-n^2} \ge 1/2$ gilt. Zum Ziel: zeige, dass $e^{n - n^2}$ so stark abnimmt, dass der Ausdruck oberhalb einer Stelle $N$ die Glieder $e^{-n}$ dominiert, denn $\sum e^{-n}$ ist eine konvergente geometrische Reihe. Dazu: der Quotient $\frac{2 (n+1)^5 e^{n - n^2}}{e^{-n}} = 2 (n+1)^5 e^{2n - n^2} = 2 (n+1)^5 e^{-n(n-2)} \to 0,$ denn $-n(n-2) \to -\infty$ wächst schnell negativ. Also liegt der Betragssummand schliesslich unter $e^{-n}$, und ab einem Index liefert der Majorantenvergleich mit $\sum e^{-n}$ die absolute Konvergenz.

Antwort: (B) Fixpunkt. Setze $g(x) = f(x) - x$. Dann ist $g$ stetig, es gilt $g(0) = f(0) \ge 0$ und $g(1) = f(1) - 1 \le 0$, weil $f$ Werte in $[0,1]$ annimmt. Der Zwischenwertsatz liefert ein $x$ mit $g(x) = 0$, also $f(x) = x$. Die übrigen Optionen widersprichst du bekannten Gegenbeispielen.

Antwort: (B) streng monoton. Eine stetige Funktion $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kann umkehrbar nur sein, wenn sie auf ganz $\mathbb{R}$ entweder streng zunimmt oder streng abnimmt, sonst gäbe es einen Wert, den $f$ mindestens zweimal annimmt, und $f$ wäre nicht injektiv. (A) und (D) widersprechen allgemein der Bijektivität bzw. der Monotonie.

Antwort: (A). Eine stetige Funktion nimmt jede reelle Zahl zwischen zwei Funktionswerten an, sofern sie zwischen den Argumenten liegt. Weil $0$ zwischen $f(1)=2$ und $f(3)=-1$ sitzt, existiert $t$ im offenen Intervall $(1,3)$ mit $f(t) = 0$.

Antwort: (A). Stetigkeit auf $[a,b]$ darf man mit Folgen fassen: aus $x_n \to x$ folgt $f(x_n) \to f(x)$, genau wie in (A) formuliert. (B) trifft nicht zu: Aus Stetigkeit von $|f|$ folgt nicht Stetigkeit von $f$. (C) und (D) gelten weder nötig noch allgemein.

Antwort: (B) $1/27$. Mit den Koeffizienten $a_n = \frac{(3n)!}{(n!)^3} z^n$ gibt der Quotient $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \to 27|z|$ für $n \to \infty$. Daraus liest man absolut Konvergenz für $|z| < 1/27$ ab, also beträgt der Konvergenzradius $1/27$.