Zwischenwertsatz

In diesem Beitrag schauen wir uns ein Konzept an, das auf den ersten Blick vollkommen logisch erscheint. Wenn ein Thermometer von 10 Grad auf 20 Grad steigt, muss es irgendwann exakt 15 Grad anzeigen. Wir formulieren dieses Prinzip nun mathematisch strikt.

Der Zwischenwertsatz#

Intuition#

Stell dir vor, du gehst wandern und startest im Tal auf 500 Metern Höhe. Dein Ziel ist ein Berggipfel auf 2000 Metern Höhe. Wenn du den Gipfel erreichst, musst du zwingend irgendwann die 1000-Meter-Marke passiert haben. Das Wandern ist ein kontinuierlicher Prozess ohne Teleportation. In der Analysis bedeutet diese "Teleportationsfreiheit" Stetigkeit. Wenn eine Funktion stetig ist, kann sie auf dem Weg von einem Startwert zu einem Endwert keinen einzigen Zwischenwert überspringen.

Satz#

Die Kernaussage#

Der Satz ist unumgänglich, weil wir die Lückenlosigkeit der reellen Zahlen nutzen. Wenn wir die Menge aller Punkte betrachten, an denen die Funktion den Zielwert $c$ noch nicht überschritten hat, zwingt uns das Supremum dieser Menge wegen der Stetigkeit exakt auf den Wert $c$.

Beispiel#

Betrachte das Polynom $f(x) = x^2 - 2$ auf dem Intervall $[0, 2]$. Am linken Rand haben wir $f(0) = -2$. Am rechten Rand haben wir $f(2) = 2$. Wir suchen nun eine Stelle, an der die Funktion den Wert $c = 0$ annimmt. Da $0$ zwischen $-2$ und $2$ liegt und Polynome stetig sind, garantiert uns der Satz eine solche Stelle $\tilde{x}$. Die Rechnung zeigt uns dieses Resultat direkt:

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 - 2 = 0$

Die Stelle $\tilde{x} = \sqrt{2}$ liegt im Intervall $[0, 2]$ und liefert exakt den geforderten Wert.

Gegenbeispiel#

Die Kompaktheit des Intervalls ist eine unumgängliche Voraussetzung. Betrachte die Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ auf dem offenen Intervall $(0, 2)$. Diese Funktion ist auf dem gesamten Intervall stetig. Nähert sich $x$ dem linken Rand, wächst die Funktion unbeschränkt ins Unendliche.

Weil das offene Intervall den Punkt $0$ nicht enthält, gibt es keinen Startwert $f(0)$. Der Zwischenwertsatz verlangt aber wohldefinierte Randwerte $f(a)$ und $f(b)$, um dazwischen einen Zielwert $c$ auszuwählen. Bei einem offenen Intervall kann die Funktion am Rand unbeschränkt sein, wodurch das Konzept einer lückenlosen Verbindung zwischen zwei festen Punkten zerfällt.

Was wir aber machen können: Ein kompaktes Intervall $[x_1, x_2]$ mit $x_1, x_2 \in (0, 2)$ wählen. Dann ist die Funktion auf diesem kompakten Intervall stetig und wir können den Zwischenwertsatz anwenden.

Übungen#

1. Unter welchen Bedingungen garantiert der Zwischenwertsatz eine Nullstelle der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$?

   • (a) $f(a) > 0$ und $f(b) > 0$
   • (b) $f(a)$ und $f(b)$ haben unterschiedliche Vorzeichen und $f$ ist stetig
   • (c) $f$ ist monoton wachsend und unbeschränkt
   • (d) $f$ ist eine beliebige Funktion mit $f(a) < 0$ und $f(b) > 0$

2. Warum versagt der Zwischenwertsatz für $f(x) = 1/x$ auf dem Intervall $[-1, 1]$ mit $f(-1) = -1$ und $f(1) = 1$ für den Wert $c = 0$?

   • (a) Die Funktion ist streng monoton fallend.
   • (b) Das Intervall ist nicht abgeschlossen.
   • (c) Die Funktion ist bei $x = 0$ nicht definiert und somit auf $[-1, 1]$ nicht stetig.
   • (d) Der Wert $c = 0$ liegt nicht zwischen $-1$ und $1$.