Tipps für die Übungen dieser Woche#

Hier sind ein paar kurze Hinweise, um dir den Einstieg in die Serie 7 zu erleichtern. Als Bearbeitungsreihenfolge empfehle ich dir, mit Aufgabe 1 und 2 zu starten, dann die Aufgabe 5 vorzuziehen und am Schluss die Aufgaben 3 und 4 zu lösen. Versuch zuerst, mit diesen Andeutungen weitestgehend selbstständig zu arbeiten.

Aufgabe 1: Stetigkeit - I#

• (a) Berechne die Funktionswerte an den Rändern des Intervalls und erinnere dich an den Zwischenwertsatz.
• (b) Betrachte eine neue Hilfsfunktion $g(x) = f(x) - x$ und wende darauf ein bekanntes Theorem für stetige Funktionen an.
• (c) Stelle die Distanzen der beiden Züge von Genf als Funktionen der Zeit auf und untersuche deren Differenz.
• (d) Forme den Ausdruck $|x^2 - y^2|$ mit der dritten binomischen Formel um und nutze die Dreiecksungleichung, um den Faktor $|x+y|$ abzuschätzen.

Aufgabe 2: Stetigkeit - II#

Prüfe bei allen Teilaufgaben zuerst den Definitionsbereich der Funktionen. Eine Funktion kann nur dort stetig sein, wo sie auch definiert ist.

Aufgabe 3: Stetigkeit III#

Damit die aus drei Teilen zusammengesetzte Funktion überall stetig ist, müssen die Teilstücke an den Übergangsstellen nahtlos aneinanderpassen.

Aufgabe 4: Stetigkeit IV#

Um die Stetigkeit bei $x=0$ zu zeigen, kannst du $|f(x)|$ direkt abschätzen. Für die Unstetigkeit an allen anderen Stellen konstruierst du am besten passende Folgen.

Aufgabe 5: Multiple-Choice-Aufgaben#

Lies die Definitionen genau und achte auf die Reihenfolge der Quantoren. Bei Aussagen, die dir unklar sind, hilft oft die Suche nach ganz einfachen Gegenbeispielen.