Detaillierte Hinweise#

Falls du irgendwo stecken geblieben bist, helfen dir diese spezifischeren Tipps weiter.

Aufgabe 1: Stetigkeit - I#

• (a) Da $p(0)$ negativ und $p(1)$ positiv ist, garantiert der Zwischenwertsatz direkt die Existenz einer Nullstelle.
• (b) Falls $f(a)=a$ oder $f(b)=b$ gilt, bist du fertig. Andernfalls ist $g(a) \gt 0$ und $g(b) \lt 0$, was dir wieder den Zwischenwertsatz liefert.
• (c) Definiere $x(t)$ für den ersten und $y(t)$ für den zweiten Zug. Die Funktion $x(t) - y(t)$ wechselt das Vorzeichen im Zeitraum zwischen 10:05 und 13:00 Uhr.
• (d) Du kannst $|x+y|$ durch $2|x| + |y-x|$ abschätzen. Wenn du nun annimmst, dass $|x-y| \lt \delta$ gilt, erhältst du einen Ausdruck, den du kleiner als $\varepsilon$ machen musst.

Aufgabe 2: Stetigkeit - II#

• (a) und (c) Bei $x=0$ haben diese beiden Funktionen Singularitäten, sie sind dort also gar nicht definiert. Dementsprechend können sie auf Intervallen, die die Null enthalten, nicht stetig sein.
• (b) Der Nenner $x^2+2$ hat im Reellen keine Nullstellen. Du kannst also direkt die Quotientenregel für stetige Funktionen anwenden.

Aufgabe 3: Stetigkeit III#

Stelle ein lineares Gleichungssystem für $a$ und $b$ auf, indem du die Grenzwerte der benachbarten Polynome an den Stellen $x=-1$ und $x=1$ gleichsetzt.

Aufgabe 4: Stetigkeit IV#

Für einen Punkt $x \neq 0$ wählst du eine Folge aus rationalen Zahlen, die gegen $x$ konvergiert, und eine Folge aus irrationalen Zahlen, die ebenfalls gegen $x$ konvergiert. Die Funktionswerte dieser beiden Folgen streben gegen unterschiedliche Grenzwerte, was die Unstetigkeit beweist.

Aufgabe 5: Multiple-Choice-Aufgaben#

Bei Stetigkeit hängt das $\delta$ in der Regel vom betrachteten Punkt ab. Für die Monotonie überlege dir, was passiert, wenn du zwei monoton wachsende Funktionen multiplizierst, die auch negative Werte annehmen können. Bei Lipschitz-Bedingungen musst du darauf achten, dass die Bedingung auch für sehr kleine Abstände $|x-y| \lt 1$ greift, um Unstetigkeiten wie Sprünge in der Funktion formal auszuschliessen.