Satz von de l'Hôpital I

Manchmal stösst man in der Analysis auf Brüche, bei denen Zähler und Nenner beide gegen Null streben. Wenn man stur versucht, den Wert einzusetzen, landet man bei einem unbestimmten Ausdruck der Form Null durch Null. Genau hier rettet uns ein extrem präzises Werkzeug aus der Differentialrechnung.

Problemstellung#

Berechne den folgenden Grenzwert:

Lösungsansatz#

Wir prüfen zuerst, was passiert, wenn wir den Wert direkt einsetzen. Der Zähler wird zu Null und der Nenner ebenfalls. Für solche Fälle nutzen wir das Prinzip, dass sich das Verhältnis zweier Funktionen nahe einer Nullstelle wie das Verhältnis ihrer Steigungen verhält. Wir vergleichen also gewissermassen, wie schnell Zähler und Nenner jeweils gegen Null fallen.

Die Strategie ist also, Zähler und Nenner separat abzuleiten. Solange die unbestimmte Form Null durch Null bestehen bleibt, darf man diesen Prozess wiederholen.

Schritt-für-Schritt Lösung#

Wir definieren den Zähler als und den Nenner als .

Zuerst vergewissern wir uns, dass die Voraussetzungen erfüllt sind:

Da wir exakt den Fall Null durch Null haben, leiten wir Zähler und Nenner unabhängig voneinander ab:

Wir setzen diese Ableitungen in unseren neuen Grenzwert ein:

Wir versuchen erneut, den Wert auszuwerten. Der neue Zähler liefert bei null den Wert null. Der neue Nenner ergibt ebenfalls null. Die Voraussetzungen für den Satz sind also ein zweites Mal erfüllt. Wir leiten ein weiteres Mal ab:

Nun setzen wir diese zweiten Ableitungen in den Grenzwert ein:

Dieses Mal taucht im Nenner keine Variable mehr auf, wir haben also keinen unbestimmten Ausdruck mehr. Wir können die Null direkt einsetzen:

Fazit#

Der scheinbar unbestimmte Bruch nähert sich glatt dem exakten Wert 0.5 an. Das mehrfache Anwenden der Regel ist völlig legitim und oft notwendig, solange du vor jedem neuen Ableiten die Startbedingungen gewissenhaft prüfst.

Weitere Übungen#

Übung 1#

Berechne den folgenden Grenzwert:

Tipp anzeigen

Prüfe die Voraussetzungen und denke an die Kettenregel beim Ableiten von Zähler und Nenner.

Lösung anzeigen

Einsetzen von null liefert direkt die Form Null durch Null. Wir wenden die Regel an und leiten separat ab. Die Zählerableitung ist und die Nennerableitung ist . Der neue Grenzwert lautet: Ein erneutes Einsetzen von null liefert wieder Null durch Null. Wir leiten also ein zweites Mal ab. Im Zähler brauchen wir die Produktregel. Der Grenzwert lautet nun: Nun können wir null einsetzen, da der Nenner zu wird. Wir berechnen: Der Grenzwert beträgt somit .

Übung 2#

Berechne den folgenden Grenzwert:

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Hier wirst du den Satz von de l'Hôpital mehr als zweimal anwenden müssen, lehn dich also nicht zu früh zurück.

Lösung anzeigen

Das Einsetzen von null liefert die Form Null durch Null. Wir leiten ein erstes Mal ab: Dies ergibt wieder Null durch Null. Wir leiten ein zweites Mal ab: Auch hier erhalten wir nach dem Einsetzen Null durch Null. Wir leiten ein drittes Mal ab: Jetzt ist der Nenner konstant. Wir setzen null ein und erhalten: Der Grenzwert ist somit .