Detaillierte Hinweise#

Falls du irgendwo stecken geblieben bist, helfen dir diese spezifischeren Tipps weiter.

Aufgabe 1: Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten#

Achte auf mehrfache Nullstellen im charakteristischen Polynom, wie in Teil c und d im Fall von $a=b$. Bei einer doppelten Nullstelle musst du die zweite Basislösung mit $t$ multiplizieren, um lineare Unabhängigkeit zu garantieren. Bei echt komplexen Nullstellen (Teil b) nutzt du die Eulersche Formel, um die Lösung mit Sinus und Kosinus rein reell zu schreiben.

Aufgabe 2: Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten - Anfangswertprobleme#

Leite die allgemeine Lösung zuerst formal ab, bevor du die Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit einsetzt. Verwechsle nicht die Konstanten der Funktion mit denen der Ableitung.

Aufgabe 3: Modellierung II - Salzlösung#

Für den Abfluss musst du beachten, dass die Konzentration nicht konstant ist. Sie entspricht zu jedem Zeitpunkt exakt der momentanen Salzmasse $c(t)$ geteilt durch das konstante Gesamtvolumen von 400 Litern.

Aufgabe 4: Modellierung III - Weltbevölkerung#

Die Integrationskonstante bestimmst du aus der Anfangsbedingung im Jahr 2010. Vergiss nicht, dass $t$ die vergangenen Jahre nach 2010 zählt. Überlege also genau, welchen Zahlenwert du für das Jahr 2050 in deine finale Formel einsetzen musst.

Aufgabe 5: Modellierung IV - Schwingungen#

Die Wahl der Ruhelage $s_0$ verschiebt das Koordinatensystem genau so, dass sich die konstante Gewichtskraft und die Federkraft im Gleichgewicht aufheben. Für den Beweis der Energieerhaltung kannst du die Energiefunktion nach der Zeit ableiten und zeigen, dass diese Ableitung null ergibt, wenn du die Differentialgleichung einsetzt.

Aufgabe 6: Modellierung V - Schwingungen II#

Um die maximale Amplitude bei der erzwungenen Schwingung (Resonanz) zu finden, minimierst du den Nenner. Dieser Term unter der Wurzel ist quadratisch in Bezug auf $\Omega^2$. Bestimme einfach den Scheitelpunkt dieser nach oben geöffneten Parabel.

Aufgabe 7: Multiple-Choice-Aufgaben#

Bei linearen Differentialgleichungen gilt das Superpositionsprinzip. Wenn du zwei Lösungen einer inhomogenen Gleichung subtrahierst, heben sich die Inhomogenitäten auf der rechten Seite exakt weg. Bei der Modellierung des in die Höhe geworfenen Körpers musst du die Vorzeichen der Vektoren beachten. Gewichtskraft und Luftwiderstand zeigen beide entgegen der Bewegungsrichtung, wenn sich der Körper nach oben bewegt.