Tipps für die Übungen dieser Woche#

Hier sind ein paar kurze Hinweise, um dir den Einstieg in die Serie 11 zu erleichtern. Versuch zuerst, mit diesen Andeutungen weitestgehend selbstständig zu arbeiten. Eine spezifische Reihenfolge ist für diese Serie nicht vorgegeben, beginne einfach bei der ersten Aufgabe.

Aufgabe 1: Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten#

Verwende für alle Teilaufgaben den exponentiellen Ansatz $x(t) = e^{\lambda t}$, um das charakteristische Polynom zu finden. Die Nullstellen dieses Polynoms liefern dir die Fundamentallösungen.

Aufgabe 2: Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten - Anfangswertprobleme#

Nimm deine allgemeinen Lösungen aus der ersten Aufgabe und setze die Zeit $t=0$ ein. Du erhältst dadurch ein lineares Gleichungssystem, mit dem du die unbekannten Konstanten berechnen kannst.

Aufgabe 3: Modellierung II - Salzlösung#

Die zeitliche Änderung der Salzmasse ergibt sich direkt aus der Differenz von zufliessendem und abfliessendem Salz pro Minute. Stelle diese Bilanzgleichung auf, um die Differentialgleichung zu erhalten.

Aufgabe 4: Modellierung III - Weltbevölkerung#

Stelle zuerst die Geradengleichung für die Sterberate auf. Integriere danach die gefundene Änderungsrate der Bevölkerung auf beiden Seiten der Gleichung, um auf den absoluten Bestand zu schliessen.

Aufgabe 5: Modellierung IV - Schwingungen#

Stelle die Summe der wirkenden Kräfte auf und nutze das zweite Newtonsche Axiom. Erinnere dich daran, dass die Rückstellkraft der Feder proportional zur Auslenkung ist.

Aufgabe 6: Modellierung V - Schwingungen II#

Hier kommt ein dämpfender Term proportional zur Geschwindigkeit hinzu. Für den angetriebenen Fall (Teilaufgabe d und folgend) setzt du am besten einen harmonischen Ansatz mit der Frequenz der externen Kraft an, um eine spezielle Lösung zu finden.

Aufgabe 7: Multiple-Choice-Aufgaben#

Setze bei den Differentialgleichungen probeweise die vorgeschlagenen Funktionen ein und leite sie entsprechend ab. Achte bei den Anfangswertproblemen auf die Vorzeichen der Exponenten in deiner Lösung, um das Verhalten für grosse Zeiten direkt abzulesen.