Detaillierte Hinweise#

Falls du irgendwo stecken geblieben bist, helfen dir diese spezifischeren Tipps weiter.

Aufgabe 1: Konvergenz von Funktionenfolgen#

Bei der ersten Funktion lässt sich die Differenz nach oben durch Terme abschätzen, die von $x$ unabhängig sind. Bei der dritten Funktion hilft es, den maximalen Wert des Ausdrucks $x(1-x)$ auf dem Intervall $[0,1]$ zu finden. Untersuche dazu diese nach unten geöffnete Parabel. Der höchste Wert liefert dir eine obere Schranke für alle $x$.

Aufgabe 2: Taylorpolynom#

Da die erste und dritte Ableitung bei der Entwicklungsstelle verschwinden, sind das Taylorpolynom zweiter und dritter Ordnung identisch. Achte beim Einsetzen für die Approximation darauf, dass im Polynom Terme der Form $(x - x_0)$ vorkommen. Setze $x = -0.99$ konsequent ein.

Aufgabe 3: Optimierung I - Betrachtungswinkel#

Die Nullstelle der Ableitung führt auf eine Gleichung, in der du zwei Brüche gleichsetzen kannst. Multipliziere die Terme über Kreuz aus, vereinfache und löse nach dem Quadrat des Abstands auf. Da der Abstand eine Strecke beschreibt, kommt nur die positive Wurzel als Lösung infrage.

Aufgabe 4: Optimierung III - Blutkreislauf#

Für Teil (b) suchst du die Nullstelle der Ableitung des Widerstands nach dem Winkel. Konstanten fallen beim Ableiten weg, sodass du die resultierende Gleichung direkt nach dem Kosinus auflösen kannst. Der Nachweis des Minimums erfordert dann noch eine kurze Betrachtung, wie sich das Vorzeichen der Ableitung rund um diesen Nullpunkt verhält.

Aufgabe 5: Taylorreihen - II#

Erinnere dich, dass für den Konvergenzradius der Grenzwert des Quotienten aufeinanderfolgender Vorfaktoren betrachtet wird. Bei Teil (b) kommst du nach dem gliedweisen Ableiten auf einen Term $(-x^2)^n$, der genau dem Summanden einer geometrischen Reihe mit dem Verhältnis $q = -x^2$ entspricht.

Aufgabe 6: Erklärung des Test für lokale Extrema via 2. Ableitung#

Wenn die zweite Ableitung an der kritischen Stelle strikt positiv ist, bleibt sie aus Stetigkeitsgründen auch in einer hinreichend kleinen Umgebung positiv. Da die erste Ableitung an der kritischen Stelle verschwindet, reduziert sich die Taylorformel. Der verbleibende Term hängt vom stets positiven quadratischen Abstand und der positiven zweiten Ableitung ab. Dies zeigt direkt auf, dass der Funktionswert dort am kleinsten ist.

Aufgabe 7: Multiple-Choice-Aufgaben#

Bei Frage 1 reicht es, die integrierte Reihe aufzusummieren, bis die Summanden klein genug werden, um die ersten zwei Dezimalstellen nicht mehr zu verändern (hier genügt $n=3$). Bei Frage 4 darfst du nicht vergessen, dass die Terme im Taylorpolynom die Verschiebung $(x-8)^n$ beinhalten müssen und der Koeffizient immer noch durch die Fakultät geteilt wird. Bei Frage 5 kannst du dir einfache Beispiele wie Polynome ersten oder zweiten Grades ausdenken, um die möglichen Grenzwerte in den Brüchen zu überprüfen.