Tipps für die Übungen dieser Woche#

Hier sind ein paar kurze Hinweise, um dir den Einstieg in die Serie 10 zu erleichtern. Versuch zuerst, mit diesen Andeutungen weitestgehend selbstständig zu arbeiten.

Aufgabe 1: Konvergenz von Funktionenfolgen#

Schätze den Abstand zwischen den Folgengliedern und der Grenzfunktion ab, um die gleichmässige Konvergenz zu zeigen. Überlege dir dabei für jedes Beispiel, gegen welchen Wert die Funktion für sehr grosse $n$ strebt.

Aufgabe 2: Taylorpolynom#

Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktion an der angegebenen Entwicklungsstelle $x_0 = -1$. Für die Approximation der Funktion wertest du dann dein gefundenes Polynom am gewünschten Punkt aus.

Aufgabe 3: Optimierung I - Betrachtungswinkel#

Drücke den Winkel als Differenz zweier Arkustangens-Funktionen aus. Um das Maximum zu bestimmen, leitest du diese Funktion nach dem Abstand ab und suchst die Nullstelle.

Aufgabe 4: Optimierung III - Blutkreislauf#

Nutze die trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck, um die Längen der Teilstrecken durch den Winkel auszudrücken. Setze diese dann in die vorgegebene Formel für den Gesamtwiderstand ein.

Aufgabe 5: Taylorreihen - II#

Das Quotientenkriterium für Potenzreihen liefert dir direkt den Konvergenzradius. Die gliedweise Ableitung der Reihe führt dich auf einen Ausdruck, den du mit der Formel einer bekannten geometrischen Reihe vereinfachen kannst.

Aufgabe 6: Erklärung des Test für lokale Extrema via 2. Ableitung#

Schreibe das Taylorpolynom zweiten Grades mit dem entsprechenden Restglied auf und betrachte das Vorzeichen dieses Ausdrucks in der direkten Umgebung des kritischen Punktes.

Aufgabe 7: Multiple-Choice-Aufgaben#

Nutze für die Berechnung des Integrals in der ersten Frage die Reihendarstellung des Integranden. Behalte bei der Frage zu den Ableitungen im Hinterkopf, wie sich zwei Funktionen unterscheiden können, wenn ihre Ableitungen exakt gleich sind.

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