Detaillierte Hinweise#

Falls du irgendwo stecken geblieben bist, helfen dir diese spezifischeren Tipps weiter.

Aufgabe 1: Folgenkonvergenz und Differenzierbarkeit#

Multipliziere Zähler und Nenner mit . Danach kannst du die dritte binomische Formel im Zähler anwenden, wodurch sich der Term rauskürzen lässt. Nutze dann die Stetigkeit der Wurzelfunktion für den Grenzübergang.

Aufgabe 2: Mandelbrotmenge (optional)#

Wenn eine Folge alterniert, also zwischen zwei Werten hin und her springt, oder konstant wird, ist sie offensichtlich beschränkt. Wenn die Beträge der Folgenglieder monoton wachsen und jede Schranke übersteigen, gehört der untersuchte Punkt nicht zur Mandelbrotmenge.

Aufgabe 3: Rekombination von Folgen#

Die Menge der Häufungspunkte besteht exakt aus den Grenzwerten der drei konvergenten Teilfolgen. Der Limes superior ist dann einfach der größte dieser Werte, der Limes inferior der kleinste.

Aufgabe 4: Limes superior und Limes inferior I.#

• Bei (a) und (b): Für ungerade wird die Klammer zu 0, für gerade zu 2. Betrachte das Verhalten von in beiden Fällen separat, um das Infimum und Supremum für große zu finden.
• Bei (c) und (d): Bilde den Quotienten für gerade und für ungerade . In einem Fall steht ein konstanter Wert im Zähler und eine exponentiell wachsende Zahl im Nenner, im anderen Fall umgekehrt.

Aufgabe 5: Multiple-Choice-Aufgaben#

• Teil 1: Nutze die Rechenregel . Damit vereinfacht sich der Exponent und der Term in der Exponentialfunktion wird konstant.
• Teil 2: Der Limes superior ist der größte Häufungspunkt. Rechne die Grenzwerte der drei Teilfolgen aus und vergleiche sie.
• Teil 3: Für die erste Aussage reicht der Abstand zweier benachbarter Folgenglieder nicht aus, um eine Cauchy-Folge zu garantieren. Denk an die harmonische Reihe als Gegenbeispiel.
• Teil 4: Eine Cauchy-Folge in den reellen Zahlen ist immer konvergent und konvergente Folgen sind immer beschränkt. Prüfe alle Antwortmöglichkeiten mit dieser Eigenschaft im Hinterkopf.