Tipps für die Übungen dieser Woche#

Hier sind ein paar kurze Hinweise, um dir den Einstieg in die Serie 4 zu erleichtern. Für diese Serie empfehle ich dir, die Aufgaben in der Reihenfolge 4, 3, 1 und dann 5 zu bearbeiten. Versuch zuerst, mit diesen Andeutungen weitestgehend selbstständig zu arbeiten.

Aufgabe 1: Folgenkonvergenz und Differenzierbarkeit#

Um den Bruch umzuformen, lohnt es sich, den Zähler durch eine geschickte Erweiterung mit dem Plus-Äquivalent wurzelfrei zu machen.

Aufgabe 2: Mandelbrotmenge (optional)#

Setze die Werte für $c$ in die rekursive Formel ein und beobachte die ersten paar Folgenglieder, um ein Muster oder ein unbegrenztes Wachstum zu erkennen.

Aufgabe 3: Rekombination von Folgen#

Überlege dir, wie sich die Konvergenz der drei Teilfolgen auf die Häufungspunkte der kombinierten Folge auswirkt.

Aufgabe 4: Limes superior und Limes inferior I.#

Teile die Folge in zwei Fälle auf, nämlich für gerade und ungerade $n$, da der Term mit dem alternierenden Vorzeichen das Verhalten stark bestimmt.

Aufgabe 5: Multiple-Choice-Aufgaben#

• Teil 1: Schreibe den Ausdruck mit Hilfe der Exponentialfunktion und des natürlichen Logarithmus um.
• Teil 2: Betrachte das Verhalten der drei separaten Teilfolgen für große $k$.
• Teil 3 und 4: Erinnere dich an die exakte Definition einer Cauchy-Folge und überlege dir Gegenbeispiele für scheinbar offensichtliche Aussagen.