Häufungspunkte von Folgen

In der Analysis untersuchen wir oft Folgen, die keinen eindeutigen Grenzwert haben, sich aber trotzdem um gewisse Werte sammeln. Hier kommen die Häufungspunkte ins Spiel. Sie helfen uns, das Verhalten von Folgen zu verstehen, die scheinbar ziellos hin und her springen, aber dennoch bestimmte Bereiche bevorzugen.

Häufungspunkte#

Intuition#

Ich stelle mir einen Häufungspunkt gerne wie eine Stadt vor, die ein Zug auf seiner unendlichen Reise durchs Land (die Zielmenge ) immer wieder besucht. Der Zug muss dort nicht für immer stehen bleiben, wie es bei einem echten Grenzwert der Fall wäre. Es reicht aus, wenn er unendlich oft durch diese Stadt fährt. Sobald wir einen kleinen Radius um die Stadt ziehen (eine -Umgebung), werden wir den Zug dort unendlich oft antreffen.

Definition#

Beispiel#

Betrachte die Folge . Die Werte springen endlos zwischen -1 und 1 hin und her. Wenn wir ein kleines Fenster mit dem Radius um die Zahl 1 legen, landen unendlich viele Folgenglieder mit geradem Index exakt in diesem Fenster. Die Zahl 1 ist also ein Häufungspunkt.

Gegenbeispiel#

Nehmen wir dieselbe Folge , aber testen die Zahl 0 als potenziellen Häufungspunkt. Wenn wir wählen, fällt kein einziges Folgenglied in das offene Intervall zwischen -0.1 und 0.1. Somit ist 0 kein Häufungspunkt.

Teilfolgen und Häufungspunkte#

Intuition#

Eine Teilfolge ist eine Folge, bei der man die ursprüngliche Folge "ausdünnt", indem man einige Glieder weglässt. Wichtig ist dabei, dass die Reihenfolge der verbleibenden Glieder erhalten bleibt. Das heisst genau, dass die Indizes der Teilfolge streng monoton steigend sind.

Bei einer Teilfolge müssen unendlich viele Folgenglieder übrig bleiben.

Satz#

Die Idee hier ist, dass wir uns auf die Glieder der Folge konzentrieren, die sich einem bestimmten Wert annähern. Wenn wir eine solche Teilfolge finden können, dann ist dieser Wert ein Häufungspunkt. Jeder Grenzwert ist nämlich automatisch ein Häufungspunkt, da fast alle Folgenglieder in jeder -Umgebung des Grenzwertes liegen, also immer unendlich viele.

Umgekehrt gilt aber nicht, dass jeder Häufungspunkt ein Grenzwert ist. Das liegt daran, dass es immer noch andere Folgenglieder geben kann, die sich nicht dem Grenzwert annähern. Wenn wir aber die restlichen Folgenglieder, die sich nicht dem Grenzwert annähern, entfernen, dann erhalten wir eine konvergente Teilfolge, deren Grenzwert der Häufungspunkt ist.

Beispiel#

Wir schauen uns die Folge an. Die Werte der Folge lauten 1, 0, -1, 0, 1, 0 und so weiter. Wir wollen zeigen, dass 0 ein Häufungspunkt ist. Dazu konstruieren wir eine Teilfolge, indem wir nur die geraden Indizes herauspicken. Wir setzen . Die Teilfolge lautet dann für alle . Diese Teilfolge ist konstant und konvergiert gegen 0.

Gegenbeispiel#

Betrachte die Folge . Egal wie wir unendlich viele Folgenglieder für eine Teilfolge auswählen, die Werte wachsen stets unaufhaltsam an. Es gibt keine reelle Zahl, gegen die eine Teilfolge jemals konvergieren könnte. Diese Folge besitzt demnach keinen Häufungspunkt.

Limes Superior#

Intuition#

Wenn wir alle Häufungspunkte einer Folge sammeln, fragen wir uns oft nach den extremsten Werten. Der Limes Superior ist quasi die nördlichste Stadt, die unser endlos fahrender Zug unendlich oft besucht. Er markiert die obere Schranke des langfristigen Verhaltens der Folge. Alles, was noch weiter oben liegt, wird höchstens endlich oft besucht.

Definition#

Diese Definition können wir so verstehen:

Schauen wir uns also eine beschränkte Folge an. Definiere die Folge mit .

Wenn wir uns die ersten Glieder dieser Folge anschauen, sehen wir: , , , und so weiter.

Wir sehen, dass immer mehr Folgenglieder vorne weggeschnitten werden. Das heisst, dass die Folge monoton fallend ist. Denn wenn man weiter erhöht, kann sich das Supremum nur verändern, wenn man den gerade grössten Wert rausschneidet. Falls dieser grösste Wert danach nicht mehr drin ist, dann hat sich das Supremum verkleinert. Wenn man einen kleineren Wert rausschneidet, ändert sich das Supremum nicht.

Wir haben angenommen, dass beschränkt ist. Daher ist auch beschränkt und somit ist eine monotone, beschränkte Folge und konvergiert. Der Grenzwert von ist gerade der limes superior.

Beispiel#

Wir betrachten die Folge . Für grosse Indizes verhält sich der Bruch fast wie 0, und die Folge pendelt sich in der Nähe der Werte 1 und -1 ein. Die Menge der Häufungspunkte ist . Der grösste Wert in dieser Menge ist 1. Der Limes Superior lautet daher 1.

Gegenbeispiel#

Nehmen wir erneut die unbeschränkte Folge . Die Menge der reellen Häufungspunkte ist leer. Wir können in den reellen Zahlen kein Maximum einer leeren Menge bilden.

Übungen#

1. Welche der folgenden Aussagen über die Folge ist korrekt?

   • (a) Die Folge hat keine Häufungspunkte.
   • (b) Die Folge hat genau einen Häufungspunkt bei 0.
   • (c) Die Folge hat genau zwei Häufungspunkte bei -1 und 1.

2. Eine konvergente Folge nähert sich einem eindeutigen Wert an. Wie viele Häufungspunkte besitzt sie dann zwingend und warum schliesst die Definition der Konvergenz weitere Häufungspunkte logisch aus?

3. Warum ist die Menge der Häufungspunkte einer Folge abgeschlossen?