Cauchy-Folgen in den reellen Zahlen

In der Analysis stehen wir oft vor einer Hürde. Wir wollen prüfen, ob eine Folge konvergiert, haben aber absolut keine Ahnung, was der Grenzwert sein könnte. Die klassische Definition der Konvergenz verlangt aber, dass wir diesen Grenzwert für den Beweis explizit angeben. Hier kommt ein neues Konzept ins Spiel, das dieses Problem löst.

Die Cauchy-Eigenschaft#

Intuition#

Ich stelle mir eine Cauchy-Folge gerne als einen Schwarm Bienen vor. Anstatt zu schauen, ob alle Bienen auf eine bestimmte Blume zufliegen, messen wir einfach den Abstand der Bienen untereinander. Wenn die Bienen im Laufe der Zeit immer enger zusammenrücken, bilden sie einen dichten Klumpen. Hier bedeutet dieses Zusammenrücken der Folgenglieder, dass sie sich auf ein Ziel zubewegen. Die Glieder quetschen sich gewissermassen selbst ein.

Definition#

Das Kernkonzept dieser Definition ist die völlig freie Wahl der beiden Indizes. Wenn ab einem gewissen Punkt in der Folge der Abstand zwischen beliebigen zwei weiteren Folgengliedern beliebig klein wird, fängt sich die Folge selbst ein und die Werte können sich nicht mehr aus der engen Umgebung befreien.

Gegenbeispiel#

Ein häufiger Denkfehler ist die Annahme, es reiche aus, wenn lediglich der Abstand direkt aufeinanderfolgender Glieder schrumpft. Stell dir eine Folge vor, die wie eine Sägezahnwelle langsam zwischen den Werten -1 und 1 hin und her pendelt. Sie wandert in immer feineren Trippelschritten von -1 hinauf zu 1 und kriecht danach in ebenso kleinen Schritten wieder hinab. Der Abstand wird dabei mit der Zeit beliebig klein.

Wenn wir aber den Abstand zwischen einem Punkt tief im Tal (-1) und einem späteren Punkt auf dem Gipfel (1) messen, ist dieser nach wie vor 2. Die Cauchy-Definition verlangt jedoch, dass der Abstand für alle Indizes und jenseits einer bestimmten Schwelle schrumpft. Unsere Sägezahn-Folge wandert endlos über das gesamte Intervall, zieht sich nie auf einen einzigen Punkt zusammen und ist folglich keine Cauchy-Folge.

Konvergenz von Cauchy-Folgen#

Intuition#

Ich stelle mir das so vor: Wenn unser Bienenschwarm sich im Flug immer enger zu einem dichten Ball zusammenzieht, kreist er unweigerlich eine ganz bestimmte Position im Raum ein. In den reellen Zahlen haben wir die Garantie, dass an genau dieser anvisierten Position auch wirklich ein echter Punkt existiert und nicht einfach ein Loch im Raum klafft. Die reellen Zahlen bilden einen lückenlosen Zahlenstrahl, auf dem jede noch so feine Annäherung auf festem Boden landet.

Satz#

Dieser Satz ergibt sich aus dem Verhalten der Folge. Da sich die Glieder einer Cauchy-Folge ab einem gewissen Punkt nicht mehr weit voneinander entfernen können, ist die gesamte Folge in ihren Werten beschränkt. Sie muss in den reellen Zahlen deshalb unweigerlich mindestens eine konvergente Teilfolge beinhalten.

Sobald auch nur ein Teil der Folge gegen einen Wert strebt, wird der gesamte Rest durch die Cauchy-Eigenschaft auf denselben Punkt mitgezogen, weil der Abstand zwischen den Gliedern der Teilfolge und den restlichen Gliedern beliebig klein werden muss.

Beispiel#

Ich nehme eine rekursive Folge, die die Quadratwurzel von 2 approximiert. Die Rechnung zeigt, dass der Abstand aufeinanderfolgender Glieder systematisch sinkt und die Cauchy-Bedingung erfüllt ist. Dadurch wissen wir ganz sicher, dass ein Grenzwert existiert, ohne diesen abstrakten Wurzelwert direkt in eine Konvergenzdefinition einsetzen zu müssen.

Gegenbeispiel#

Betrachte den gleichen Schwarm Bienen in einem Raum, der nur aus den rationalen Zahlen besteht. Die Glieder der Folge approximieren die Quadratwurzel von 2 und rücken beliebig dicht zusammen. Der anvisierte Punkt existiert in unserem lückenhaften Raum aber gar nicht. Die Folge ist eine Cauchy-Folge, konvergiert aber nicht.

Nicht konvergieren heisst hier, dass es keine Zahl in der Menge gibt, gegen die die Folge konvergiert.