Detaillierte Tipps für Serie 2

Detaillierte Tipps für die Übungen dieser Woche#

Falls du irgendwo stecken geblieben bist, helfen dir diese spezifischeren Tipps weiter.

Aufgabe 1#

Bei der Division $z/w$ erweiterst du mit $\bar{w}$. Das bedeutet, du rechnest $(z \cdot \bar{w}) / (w \cdot \bar{w})$. Der Nenner wird dadurch zu $|w|^2$, also einer reellen Zahl, durch die du einfach teilen kannst. Achte auf Vorzeichenfehler bei $i^2 = -1$.

Aufgabe 2#

Bei der Bestimmung des Winkels $\varphi$ ist die Funktion $\arctan(b/a)$ hilfreich, liefert aber nicht immer sofort den richtigen Wert. Überprüfe anhand einer kleinen Skizze, in welchem Quadranten deine Zahl liegt, und addiere gegebenenfalls $\pi$ (bzw. $180^\circ$) zum Ergebnis.

Aufgabe 3#

Setze $e^{i(x+y)} = \cos(x+y) + i\sin(x+y)$ gleich dem Produkt $(\cos x + i\sin x)(\cos y + i\sin y)$. Multipliziere die rechte Seite aus und sortiere nach Real- und Imaginärteil. Da zwei komplexe Zahlen genau dann gleich sind, wenn ihre Real- und Imaginärteile übereinstimmen, erhältst du direkt die Formeln für Sinus und Cosinus.

Aufgabe 4#

Beim kartesischen Ansatz für die Quadratwurzel von $a+ib$ führt $(x+iy)^2 = (x^2-y^2) + 2ixy$ auf das System $x^2-y^2=a$ und $2xy=b$. Substituiere $y = b/(2x)$ in die erste Gleichung, um eine biquadratische Gleichung für $x$ zu erhalten. Für die Polarform: Die $n$-ten Wurzeln von $r e^{i\varphi}$ sind $r^{1/n} e^{i(\varphi + 2\pi k)/n}$ für $k=0, \dots, n-1$. Vergiss nicht, alle $k$ durchzugehen.

Aufgabe 5#

Wenn die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ negativ ist, ist die Wurzel rein imaginär ($\pm i\sqrt{|D|}$). Ist $D$ selbst eine komplexe Zahl (wie in Teilaufgabe d), musst du die Wurzel aus dieser komplexen Zahl ziehen. Das machst du genau so, wie du es in Aufgabe 4 gelernt hast.

Aufgabe 6#

• (a) Probiere Teiler von 10 (also $\pm 1, \pm 2, \pm 5$). Wenn du eine Nullstelle $x_0$ hast, teile das Polynom durch $(x-x_0)$.
• (b) Da alle Koeffizienten reell sind, treten komplexe Nullstellen immer in konjugierten Paaren auf. Wenn $1+i$ eine doppelte Nullstelle ist, muss auch $1-i$ eine doppelte Nullstelle sein. Das Polynom ist also durch $((x-(1+i))(x-(1-i)))^2$ teilbar.

Aufgabe 7#

Klammere $2z$ aus. Übrig bleibt $z^2 + (1-2i)z - (3+i) = 0$. Wende hier die Mitternachtsformel an. Du wirst die Wurzel aus einer komplexen Zahl berechnen müssen. Überprüfe dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen.

Aufgabe 8#

Die rechte Seite ist $64(1 + \sqrt{3}i)$. Der Betrag ist 128. Für den Winkel gilt $\tan \varphi = \sqrt{3}$, also $\varphi = \pi/3$. Teile diesen Winkel durch 7 für die erste Lösung. Die weiteren Lösungen findest du, indem du immer $2\pi/7$ zum Winkel addierst. Überlege dir bei Teil (d), warum sich die Lösungen nach $n$ Schritten wiederholen (Periodizität von Sinus und Cosinus).

Aufgabe 9#

• Geometrie: $|z|<2$ ist das Innere eines Kreises. $\text{Re}(z) < 0$ und $\text{Im}(z) > 0$ ist der zweite Quadrant (oben links).
• Euler: $e^{-i}$ bedeutet einen Winkel von $-1$ Radiant. Da der Cosinus eine gerade Funktion ist ($\cos(-x) = \cos(x)$), ändert sich der Realteil nicht gegenüber $e^i$.
• Wurzeln: Die Regel $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ gilt im Allgemeinen nur für nicht-negative reelle Zahlen. Bei negativen Zahlen führt sie zu Widersprüchen wie $1 = -1$.