Bei der Division erweiterst du mit . Das bedeutet, du rechnest . Der Nenner wird dadurch zu , also einer reellen Zahl, durch die du einfach teilen kannst. Achte auf Vorzeichenfehler bei .
Bei der Bestimmung des Winkels ist die Funktion hilfreich, liefert aber nicht immer sofort den richtigen Wert. Überprüfe anhand einer kleinen Skizze, in welchem Quadranten deine Zahl liegt, und addiere gegebenenfalls (bzw. ) zum Ergebnis.
Setze gleich dem Produkt . Multipliziere die rechte Seite aus und sortiere nach Real- und Imaginärteil. Da zwei komplexe Zahlen genau dann gleich sind, wenn ihre Real- und Imaginärteile übereinstimmen, erhältst du direkt die Formeln für Sinus und Cosinus.
Beim kartesischen Ansatz für die Quadratwurzel von führt auf das System und . Substituiere in die erste Gleichung, um eine biquadratische Gleichung für zu erhalten.
Für die Polarform: Die -ten Wurzeln von sind für . Vergiss nicht, alle durchzugehen.
Wenn die Diskriminante negativ ist, ist die Wurzel rein imaginär (). Ist selbst eine komplexe Zahl (wie in Teilaufgabe d), musst du die Wurzel aus dieser komplexen Zahl ziehen. Das machst du genau so, wie du es in Aufgabe 4 gelernt hast.
(a) Probiere Teiler von 10 (also ). Wenn du eine Nullstelle hast, teile das Polynom durch .
(b) Da alle Koeffizienten reell sind, treten komplexe Nullstellen immer in konjugierten Paaren auf. Wenn eine doppelte Nullstelle ist, muss auch eine doppelte Nullstelle sein. Das Polynom ist also durch teilbar.
Klammere aus. Übrig bleibt . Wende hier die Mitternachtsformel an. Du wirst die Wurzel aus einer komplexen Zahl berechnen müssen. Überprüfe dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen.
Die rechte Seite ist . Der Betrag ist 128. Für den Winkel gilt , also . Teile diesen Winkel durch 7 für die erste Lösung. Die weiteren Lösungen findest du, indem du immer zum Winkel addierst. Überlege dir bei Teil (d), warum sich die Lösungen nach Schritten wiederholen (Periodizität von Sinus und Cosinus).