Tipps für Serie 2

Tipps für die Übungen dieser Woche#

Hier sind ein paar kurze Hinweise, um dir den Einstieg in die Serie 2 zu erleichtern. Versuch zuerst, mit diesen Andeutungen weitestgehend selbstständig zu arbeiten. Es empfiehlt sich, mit den Aufgaben 2, 8 und 9 zu beginnen, da diese das geometrische Verständnis schärfen und eine gute Grundlage für die anderen Aufgaben bilden.

Aufgabe 1: Grundrechenarten#

Erinnere dich an die Definitionen der Addition und Multiplikation in der kartesischen Form. Bei der Division hilft es meistens, den Bruch mit dem komplex konjugierten Nenner zu erweitern, um den Nenner reell zu machen.

Aufgabe 2: Umrechnung zwischen Polar- und Normalform#

Für die Umrechnung von Polar- in Normalform nutzt du die Eulersche Formel direkt. Für den Rückweg berechnest du den Betrag mit dem Satz des Pythagoras und den Winkel über den Arkustangens, wobei du auf den Quadranten achten musst, in dem die Zahl liegt.

Aufgabe 3: Anwendung komplexer Zahlen#

Diese Aufgabe verbindet die Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen. Schreibe die komplexe Exponentialfunktion auf zwei Arten: einmal mit dem Potenzgesetz und einmal mit der Eulerschen Formel. Ein Koeffizientenvergleich liefert dir die gesuchten Theoreme.

Aufgabe 4: Wurzelziehen im Komplexen#

Für Quadratwurzeln in kartesischer Form machst du den Ansatz und löst das entstehende Gleichungssystem. In der Polarform ist das Wurzelziehen deutlich einfacher: Du ziehst die Wurzel aus dem Betrag und teilst den Winkel durch den Wurzelexponenten.

Aufgabe 5: Quadratische Gleichungen#

Auch im Komplexen funktioniert die bekannte Mitternachtsformel (abc-Formel). Der Unterschied ist nur, dass die Diskriminante unter der Wurzel negativ oder sogar komplex sein kann.

Aufgabe 6: Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten#

Wenn ein Polynom ganzzahlige Koeffizienten hat, sind ganzzahlige Nullstellen oft Teiler des konstanten Glieds am Ende. Sobald du eine Nullstelle gefunden hast, reduzierst du den Grad des Polynoms mittels Polynomdivision.

Aufgabe 7: Nullstellen von Polynomen mit komplexen Koeffizienten#

Schau dir das Polynom genau an: Da kein konstantes Glied ohne vorhanden ist, kannst du sofort eine Nullstelle ablesen und ausklammern. Danach bleibt eine quadratische Gleichung übrig.

Aufgabe 8: Geometrie Wurzeln komplexer Zahlen#

Wandle die rechte Seite zuerst in die Polarform um. Die Lösungen von bilden in der komplexen Ebene ein regelmäßiges -Eck auf einem Kreis um den Ursprung.

Aufgabe 9: MC-Aufgaben#

• Zeichne dir die Mengen für die Geometrie-Aufgaben grob auf.
• Bei der Eulerschen Formel hilft eine Skizze am Einheitskreis.
• Sei vorsichtig mit Rechenregeln für Wurzeln aus negativen Zahlen.