Warum wir manchmal lieber im Kreis laufen, als geradeaus zu gehen.
Vielleicht hast du dir schon einmal gedacht, dass komplexe Zahlen eigentlich nur mit einer ausgefallenen Multiplikationsregel sind. Das stimmt teilweise.Aber immer nur mit Paaren zu rechnen, wird schnell mühsam, besonders wenn wir Potenzen berechnen wollen.
Komplexe Zahlen haben unterschiedliche Darstellungsformen, die jeweils ihre eigenen Vor- und Nachteile haben (z.B. Addition und Multiplikation). Wir werden uns heute drei Formen ansehen: die kartesische Form, die Polarform und die Exponentialform.
Stell dir vor, du steuerst eine Spielfigur auf einem 2D-Gitter. Die kanonische Form ist wie eine Wegbeschreibung im Stil von "Gehe Schritte nach Osten und dann Schritte nach Norden". Es ist ein rechtwinkliges System. Das Reelle ist der feste Boden (x-Achse), und das Imaginäre ist die "vertikale" Abweichung (y-Achse). Addition ist hier super intuitiv: Du addierst einfach die Ost-Schritte und die Nord-Schritte separat. Negative Schritte sind Schritte in die entgegengesetzte Richtung (Westen und Süden).
Nehmen wir und . Wenn wir diese addieren wollen, fassen wir einfach die Real- und Imaginärteile zusammen:
Das ist rechnerisch leicht und entspricht der Vektoraddition im .
Anstatt Schritte nach Osten und Norden zu zählen, funktionieren die Polarform wie ein Radar. Wir brauchen zwei Informationen: Wie weit ist der Punkt vom Zentrum entfernt (Radius ) und in welche Richtung müssen wir schauen (Winkel )? Wenn du multiplizierst, streckst du den Radius und addierst die Winkel. Das macht Drehungen extrem einfach zu beschreiben.
Man kann nicht immer blind die Formel benutzen. Betrachte den Punkt :
Der Radius ist klar . Aber was ist der Winkel ? Du kannst dich im Ursprung in jede beliebige Richtung drehen und bist immer noch am selben Punkt. Die Polarform ist für nicht eindeutig definiert bezüglich des Winkels. Das ist eine Singularität, die man im Hinterkopf behalten muss.
Das ist die Polarform, aber in elegant. Dank Eulers Formel () können wir den Winkel einfach in den Exponenten packen. Warum ist das gut? Weil Potenzgesetze gelten: . Multiplikation von komplexen Zahlen wird zur simplen Addition im Exponenten. Das ist sehr praktisch für Multiplikationen.
Oft musst du Standardwerte schnell umrechnen können. Nehmen wir als klassisches Beispiel die Zahl .
Zuerst berechnen wir den Betrag mit dem Satz des Pythagoras: .
Für den Winkel nutzen wir den Arkustangens ():
Damit erhalten wir die Exponentialform .
Ein weiteres häufiges Beispiel ist . Hier ist der Radius und der Winkel .
Hier ist eine Tabelle mit den wichtigsten Werten, die du kennen solltest:
Man kann nicht immer blind die Formel benutzen. Betrachte den Punkt