Wie man die komplexe Eins in perfekte Tortenstücke teilt.
In der Welt der reellen Zahlen ist die Gleichung oft ziemlich langweilig. Wenn gerade ist, hast du und . Wenn ungerade ist, hast du nur die . Sobald wir aber die komplexe Zahlenebene betreten, wird es interessanter. Hier lernen wir die sogenannten Einheitswurzeln kennen.
Stell dir den Einheitskreis in der komplexen Ebene vor wie eine Pizza, die genau im Ursprung zentriert ist. Wenn du diese Pizza in exakt gleich grosse Stücke schneiden willst, musst du beim Punkt (auf der positiven reellen Achse) anfangen zu schneiden und dann in regelmässigen Abständen weitermachen. Die Punkte auf dem Rand der Pizza, wo deine Schnitte den Rand treffen, sind die Einheitswurzeln. Es sind die Ecken eines regelmässigen -Ecks.
Stell dir vor, Personen stehen im Kreis und ziehen alle gleich stark an einem Ring in der Mitte, genau in ihre jeweilige Richtung (zu ihrer Einheitswurzel). Da sie absolut symmetrisch verteilt sind, heben sich alle Kräfte gegenseitig auf. Der Ring bewegt sich nicht. Das bedeutet, die Summe aller Vektoren ist Null.
Stell dir die reelle Achse in der komplexen Ebene als einen Spiegel vor. Wenn du ein Polynom hast, das nur aus reellen Zahlen gebaut ist (reelle Koeffizienten), dann "kennt" dieses Polynom den Unterschied zwischen oben (positiver Imaginärteil) und unten (negativer Imaginärteil) nicht wirklich. Wenn eine komplexe Zahl eine Lösung ist (also eine Nullstelle), dann muss ihr Spiegelbild zwangsläufig auch eine Lösung sein. Die Lösungen liegen also immer symmetrisch um die reelle Achse, es sei denn, sie liegen direkt auf ihr.
Der Grund dafür ist, dass die komplexe Konjugation verträglich mit Addition und Multiplikation ist. Da die Koeffizienten reell sind, gilt . Wenn wir die gesamte Gleichung konjugieren, erhalten wir:
Schauen wir uns die 3. Einheitswurzeln aus dem vorherigen Abschnitt an. Das Polynom ist . Die Koeffizienten sind und , also beide reell.
Die Lösungen waren:
(reell, sein eigenes Spiegelbild)
Hier sehen wir deutlich: ist exakt das komplex Konjugierte von . Sie treten als Paar auf.
Betrachte das Polynom .
Hier ist der Koeffizient vor dem zwar (reell), aber das absolute Glied ist (nicht reell). Die Voraussetzung des Satzes ist verletzt.
Die Nullstelle ist offensichtlich .
Das Konjugierte wäre . Setzen wir das ein:
Das Konjugierte ist hier keine Nullstelle, weil das Polynom nicht-reelle Koeffizienten hat.
Erinnerst du dich an die schriftliche Division in der Primarschule? Polynomdivision ist im Grunde exakt dasselbe Prinzip. Der einzige Unterschied ist, dass wir statt mit Zehnerpotenzen () mit Potenzen einer Variablen (hier ) rechnen.
Stell dir vor, ein Polynom ist ein aus verschiedenen Legosteinen zusammengesetztes Objekt. Wenn wir eine Nullstelle kennen, wissen wir, dass der Baustein im Objekt enthalten ist. Die Polynomdivision ist das Werkzeug, mit dem wir diesen Baustein sauber abtrennen, um zu sehen, was übrig bleibt (das sogenannte Restpolynom). Das ist extrem nützlich: Wenn wir eine Lösung einer Gleichung erraten, können wir sie "herausdividieren" und müssen nur noch die Lösungen für das einfachere Restpolynom finden.
Wir führen die Division am Beispiel durch. Wir haben durch Einsetzen geraten, dass eine Nullstelle ist (). Nun wollen wir den Faktor herausdividieren, um die restlichen Nullstellen zu finden.
Wir rechnen .
Schritt 1: Wir schauen uns die höchsten Potenzen an. Wie oft passt in ? Antwort: mal. Wir schreiben ins Ergebnis und ziehen vom Polynom ab.
Rückrechnung: .
Subtraktion: .
Schritt 2: Wir "nehmen" den nächsten Term () herunter. Unser neuer Rest ist . Wie oft passt in ? Antwort: mal.
Rückrechnung: .
Subtraktion: .
Schritt 3: Wir nehmen die herunter. Rest ist .
Rückrechnung: .
Subtraktion: .
Hier ist die Rechnung in kompakter Form:
Das Ergebnis ist . Um die restlichen Nullstellen des ursprünglichen Polynoms zu finden, müssten wir jetzt nur noch die quadratische Gleichung lösen (z.B. mit der Mitternachtsformel).
Die Polynomdivision funktioniert immer, aber der Rest ist nicht immer Null. Wenn wir im obigen Beispiel durch geteilt hätten, wäre am Ende ein Rest übrig geblieben. Das Vorhandensein eines Rests bedeutet geometrisch einfach, dass der Wert keine Nullstelle des Polynoms ist.
Führst du eine Polynomdivision mit einer vermuteten Nullstelle durch und erhältst einen Rest ungleich Null, hast du dich entweder verrechnet oder die vermutete Zahl war gar keine Nullstelle.
