Warum unendliche Listen von Zahlen manchmal ein Ziel haben und manchmal nur herumspringen.
Jetzt geht es los mit Analysis. Bisher haben wir sozusagen nur das Vokabular gelernt (Mengen, Logik, Körperaxiome), aber jetzt schauen wir uns an, wie sich Dinge bewegen. Folgen und der Grenzwertbegriff sind das fundamentale Werkzeug, um den Begriff der Unendlichkeit greifbar zu machen. Darauf wird alles Weitere aufbauen.
Die Folge sieht ausgeschrieben so aus: . Hier ist . Das ist eine klassische reelle Folge. Es ist völlig egal, ob wir in , oder sind, das Prinzip bleibt gleich: Für jede natürliche Zahl gibt es genau einen zugeordneten Wert.
Das ist das wichtigste Konzept dieses Kapitels. Stell dir einen Schlauch (oder Tunnel) um einen bestimmten Wert vor. Die Dicke dieses Schlauchs ist . Eine Folge konvergiert gegen , wenn egal wie eng du diesen Schlauch machst ( klein wählst), die Folge irgendwann in diesen Schlauch hineingeht und nie wieder herauskommt. Es dürfen am Anfang ein paar Punkte wild herumspringen (sogar eine Million), aber da es unendlich viele Punkte gibt, muss der "Rest" der Ewigkeit im Schlauch bleiben.
Betrachte wieder . Wir vermuten den Grenzwert .
Sei beliebig (zum Beispiel ). Wir suchen ein , ab dem der Abstand ist.
Das ist äquivalent zu oder .
Wir können also wählen. Allgemein wählen wir für jedes ein . Damit ist die Konvergenz bewiesen.
Die Folge , also .
Angenommen, sie konvergiert gegen . Ich wähle . Der Schlauch geht also von bis .
Aber für alle ungeraden ist , was weit ausserhalb dieses Schlauchs liegt. Egal wie weit wir in der Folge gehen (wie gross wir wählen), es wird immer wieder Glieder geben, die bei landen und damit ausserhalb des Schlauchs liegen. Die Folge divergiert.
Im Kontext der Vorlesung habt ihr vielleicht auch die Formulierung gehört: "Die Menge der Ausreisser ist endlich." Das ist exakt dasselbe. Wenn nur endlich viele Punkte draussen sind, müssen ab einem gewissen Punkt (dem Maximum dieser Ausreisser-Indizes + 1) alle im Schlauch drinnen sein.
Stell dir vor, zwei Polizisten ( und ) eskortieren einen Betrunkenen () zur Wache. Ein Polizist läuft links vom Weg (), einer rechts (), und der Betrunkene torkelt irgendwo dazwischen (). Wenn beide Polizisten sich am Eingang der Wache treffen, hat der Betrunkene keine Wahl. Er muss auch durch die Tür.
Wir suchen den Grenzwert von .
Wir wissen, dass der Sinus immer zwischen -1 und 1 schwankt. Also gilt:
Wir setzen und .
Da und , muss zwangsläufig auch gelten. Wir haben den komplizierten Sinus einfach "weggedrückt".
Betrachte , und (pendelt zwischen 0 und 1).
Es gilt zwar , und sowie konvergieren (gegen 0 bzw. 1). Aber da die Grenzwerte der äusseren Folgen nicht gleich sind (), zwingen sie die mittlere Folge zu nichts. Die mittlere Folge divergiert in diesem Fall fröhlich weiter.
